[论文解读] Weyl modules and q-Whittaker functions

Alexander Braverman, Michael Finkelberg|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文通过 $ q $-Toda 可积系统，以几何方式实现循环代数 $ G[[\mathsf{t}]] \rtimes \mathbb{C}^* $ 的 Weyl 模，证明当 $ G $ 为单连通时，扭曲的 $ q $-Whittaker 函数 $ \widehat{\Psi}_{\check{\lambda}}(q,z) $ 等于 Demazure 模 $ D(\check{\lambda}) $ 的特征标。该构造利用量子群 Kostant-Whittaker 约化与 $ G(R)/T \cdot U_-(R) $ 上的代数几何技巧，为这些模提供了新的几何解释，并通过上同调不变量证明了特征标公式。

ABSTRACT

Let G be a semi-simple simply connected group over complex numbers. In this paper we give a geometric definition of the (dual) Weyl modules over the group G[t] and show that their characters form an eigen-function of the lattice version of the q-Toda integrable integrable system (defined by means of the quantum group version of Kostant-Whittaker reduction due to Etingof and Sevostyanov). All the proofs are algebro-geometric and rely on our previous work which interprets the universal eigen-function of the q-Toda system in terms of rings of functions on the spaces of based quasi-maps from P^1 to the flag variety of G. We discuss in detail the relation between the current work and the works of Cherednik, Ion, Sanderson and Gerasimov-Lebedev-Oblezin.

研究动机与目标

• 通过 $ q $-Toda 系统的量子群 Kostant-Whittaker 约化，定义 $ q $-Whittaker 函数 $ \Psi_{\check{\lambda}}(q,z) $。
• 将 Demazure 模 $ D(\check{\lambda}) $ 几何实现为一个层上同调空间上李代数作用的不变量空间。
• 利用代数几何方法，证明当 $ G $ 为单连通时，扭曲的 $ q $-Whittaker 函数 $ \widehat{\Psi}_{\check{\lambda}}(q,z) $ 等于 $ D(\check{\lambda}) $ 的特征标。
• 提供 $ D(\check{\lambda}) $ 的新几何解释，区别于以往的表示论方法。

提出的方法

• 通过量子群 Kostant-Whittaker 约化构造量子差分 Toda 系统 $ \mathcal{M}_f $，将 $ \Psi_{\check{\lambda}}(q,z) $ 定义为 $ \mathcal{M}_f^{\text{lat}} $ 的本征函数。
• 定义扭曲的 $ q $-Whittaker 函数 $ \widehat{\Psi}_{\check{\lambda}}(q,z) = \Psi_{\check{\lambda}}(q,z) \cdot \prod_{i \in I} \prod_{r=1}^{\langle \alpha_i, \check{\lambda} \rangle} (1 - q^r) $，其为 $ q $ 的多项式。
• 将 Demazure 模 $ D(\check{\lambda}) $ 实现为 $ \mathbb{A}^{\check{\lambda}} $ 上层 $ \mathcal{W}(\check{\lambda}) $ 的纤维，其上具有自然的 $ \mathbb{C}[\mathbb{A}^{\check{\lambda}}] $-作用。
• 利用 $ \mathfrak{t}(\widetilde{R})_1 $ 在 $ \Gamma(G(R)/T \cdot U_-(R), \mathcal{O}(\check{\lambda})) $ 上的作用定义模结构，并证明不变量恢复 $ D(\check{\lambda})^\vee $。
• 证明 $ \mathbb{C}[\mathbb{A}^{\check{\lambda}}] $-作用通过映射 $ \pi_{\check{\lambda}} $ 因子分解，从而给出 $ D(\check{\lambda}) $ 的几何实现。
• 应用 Kodaira 无扭性与上同调技巧，将 $ \Gamma(G(R)/B_-(R), \mathcal{O}(\check{\lambda})) $ 识别为 $ D(\check{\lambda})^\vee $，完成特征标公式的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $ q $-Toda 系统的量子群约化，几何地定义 $ q $-Whittaker 函数？
• RQ2 Demazure 模 $ D(\check{\lambda}) $ 在 $ G(R)/T \cdot U_-(R) $ 上层上同调中的几何意义是什么？
• RQ3 为何当 $ G $ 为单连通时，扭曲的 $ q $-Whittaker 函数 $ \widehat{\Psi}_{\check{\lambda}}(q,z) $ 等于 $ D(\check{\lambda}) $ 的特征标？
• RQ4 $ \mathbb{C}[\mathbb{A}^{\check{\lambda}}] $-作用在 $ \mathcal{W}(\check{\lambda}) $ 上能否几何解释？其与 $ D(\check{\lambda}) $ 的模结构有何关系？

主要发现

• 当 $ G $ 为单连通时，扭曲的 $ q $-Whittaker 函数 $ \widehat{\Psi}_{\check{\lambda}}(q,z) $ 等于 Demazure 模 $ D(\check{\lambda}) $ 的特征标。
• Demazure 模 $ D(\check{\lambda}) $ 被实现为 $ \mathbb{A}^{\check{\lambda}} $ 上层 $ \mathcal{W}(\check{\lambda}) $ 的纤维，其上具有自然的 $ \mathbb{C}[\mathbb{A}^{\check{\lambda}}] $-作用。
• 空间 $ \Gamma(G(R)/B_-(R), \mathcal{O}(\check{\lambda})) $ 同构于 $ D(\check{\lambda})^\vee $，从而提供了对偶模的几何构造。
• $ \mathbb{C}[\mathbb{A}^{\check{\lambda}}] $-作用在 $ \mathcal{W}(\check{\lambda}) $ 上通过映射 $ \pi_{\check{\lambda}} $ 因子分解，给出了模结构的新几何解释。
• $ \mathfrak{t}(\widetilde{R})_1 $ 在 $ \mathcal{W}(\check{\lambda})^\vee $ 上的不变量恢复 $ \Gamma(G(R)/B_-(R), \mathcal{O}(\check{\lambda})) $，从而确认了特征标公式。
• 该证明为代数几何方法，独立于 San 与 Ion 的前期工作，为特征标恒等式提供了新视角。