[论文解读] Weyl sums and the Lyapunov exponent for the skew-shift Schrödinger cocycle

Rui Han, Marius Lemm+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出一种微扰方法，用于分析具有势能 $ 2\lambda\cos(2\pi(\binom{j}{2}\omega + jy + x)) $ 的偏移移位薛定谔算符在零能下的李雅普诺夫指数 $ L(\lambda) $。研究证明，在 $ \lambda $ 的二阶微扰展开中，$ L(\lambda) $ 的上界与 $ L(\lambda) \sim C\lambda^2 $ 当 $ \lambda \to 0 $ 时一致，支持了对任意小的 $ \lambda > 0 $ 均存在安德森局域化的猜想，并建立了该分析中至关重要的二次魏尔和的新下界。

ABSTRACT

We study the one-dimensional discrete Schrödinger operator with the skew-shift potential $2λ\cos\left(2π\left(\binom{j}{2} ω+jy+x ight) ight)$. This potential is long conjectured to behave like a random one, i.e., it is expected to produce Anderson localization for arbitrarily small coupling constants $λ>0$. In this paper, we introduce a novel perturbative approach for studying the zero-energy Lyapunov exponent $L(λ)$ at small $λ$. Our main results establish that, to second order in perturbation theory, a natural upper bound on $L(λ)$ is fully consistent with $L(λ)$ being positive and satisfying the usual Figotin-Pastur type asymptotics $L(λ)\sim Cλ^2$ as $λ o 0$. The analogous quantity behaves completely differently in the Almost-Mathieu model, whose zero-energy Lyapunov exponent vanishes for $λ<1$. The main technical work consists in establishing good lower bounds on the exponential sums (quadratic Weyl sums) that appear in our perturbation series.

研究动机与目标

• 研究偏移移位薛定谔算符是否如猜想所示，对任意小的耦合常数 $ \lambda > 0 $ 均表现出安德森局域化。
• 在小 $ \lambda $ 范围内，使用一种新颖的微扰方法分析零能下的李雅普诺夫指数 $ L(\lambda) $。
• 在 $ L(\lambda) $ 的微扰展开中，建立关于出现的二次魏尔和的严格下界，这些下界对于控制李雅普诺夫指数至关重要。
• 将偏移移位模型的行为与几乎数学家模型进行对比，后者在 $ \lambda < 1 $ 时满足 $ L(\lambda,0) = 0 $，突出显示偏移移位势能的动态特性差异。

提出的方法

• 基于薛定谔cocycle的转移矩阵形式，将零能下的李雅普诺夫指数 $ L(\lambda) $ 展开至 $ \lambda $ 的二阶微扰项。
• 该方法依赖于对微扰级数中二阶系数的分析，其涉及形如 $ \sum_{j=1}^{n} e[\omega(j^2 - j)] $ 的指数和，即二次魏尔和。
• 作者利用三角恒等式和指数和的性质，推导出二阶系数 $ \tilde{\alpha}_2 $ 的非平凡上界，且该上界与 $ n $ 无关。
• 建立了魏尔和 $ S_n = \sum_{j=1}^n e[\omega(j^2 - j)] $ 的关键下界，这对于证明 $ L(\lambda) $ 在小 $ \lambda $ 下保持正值至关重要。
• 该分析利用了齐性动力系统的技术，特别是魏尔和的不变性原理，并将 [CelMar] 中的紧致性结果扩展至有理数情形 $ c_1 = -1 $。
• 定义了一个随机过程 $ X_n(t) $，即魏尔和路径的归一化与插值，用于研究其在维纳空间中的路径行为，从而支持弱收敛论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于偏移移位薛定谔算符，零能下的李雅普诺夫指数 $ L(\lambda) $ 是否对任意小的 $ \lambda > 0 $ 保持正值，表明存在安德森局域化？
• RQ2 能否通过将 $ L(\lambda) $ 展开至二阶微扰项，来确认当 $ \lambda \to 0 $ 时的渐近行为 $ L(\lambda) \sim C\lambda^2 $？
• RQ3 在微扰级数中出现的魏尔和 $ \sum_{j=1}^n e[\omega(j^2 - j)] $ 的行为如何？可建立何种下界？
• RQ4 偏移移位模型的行为与几乎数学家模型有何不同，特别是在小 $ \lambda $ 下的零能李雅普诺夫指数方面？

主要发现

• 二阶微扰系数 $ \tilde{\alpha}_2 $ 的上界被控制在 $ \frac{2}{\cos^2(\pi\omega)} $ 以内，且该上界与 $ n $ 无关，这对控制微扰级数至关重要。
• 分析确认，由微扰展开导出的 $ L(\lambda) $ 上界与当 $ \lambda \to 0 $ 时的渐近行为 $ L(\lambda) \sim C\lambda^2 $ 完全一致。
• 魏尔和 $ S_n = \sum_{j=1}^n e[\omega(j^2 - j)] $ 满足非平凡下界，确保微扰级数不会坍缩为零，从而支持 $ L(\lambda) $ 的正值性。
• 定义为魏尔和路径的归一化与插值的随机过程 $ X_n(t) $ 在维纳空间中是预紧的，意味着其弱收敛于极限过程 $ X_0 $。
• 过程 $ X_n $ 的紧致性被扩展至有理数情形 $ c_1 = -1 $，尽管 [CelMar] 中的完整等分布结果不适用，表明该方法具有鲁棒性。
• 结果为偏移移位势能可在小耦合下诱导局域化提供了强有力证据，与几乎数学家模型中 $ L(\lambda,0) = 0 $（当 $ \lambda < 1 $ 时）形成鲜明对比。