[论文解读] What does Birkhoff's theorem really tell us?

Kristin Schleich, Donald Witt|ArXiv.org|Oct 27, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过在拓扑不同于 ℝ×S² 的柯西面上构造球对称初值数据集，阐明了贝尔克霍夫定理是局部唯一性结果而非全局唯一性结果。这些数据集演化为在局部是史瓦西或史瓦西-de Sitter 的时空，但全局上存在差异——缺乏静态区域、渐近平坦性或 de Sitter 类似行为，从而揭示了该定理的局部本质及其从初值数据识别时空几何的实用性。

ABSTRACT

Birkhoff's theorem is a classic result that characterizes locally spherically symmetric solutions of the Einstein equations. In this paper, we illustrate the consequences of its local nature for the cases of vacuum and positive cosmological constant. We construct several examples of initial data for spherically symmetric spacetimes on Cauchy surfaces of different topology than that of the maximal analytic extension of Schwarzschild and Schwarzschild-de Sitter spacetimes. The spacetimes formed from the evolution of these initial data sets also have very different physical properties; in particular they need not contain a static region or be asymptotically flat or asymptotically de Sitter. We also present locally spherically symmetric initial data sets for de Sitter spacetimes that are not covered by the maximal analytic extension of de Sitter spacetime itself. Finally we illustrate the utility of Birkhoff's theorem in identifying the spacetimes associated with two spherically symmetric initial data sets; one proven to exist but not explicitly exhibited and one which has negative ADM mass.

研究动机与目标

• 澄清贝尔克霍夫定理在广义相对论中是局部唯一性结果而非全局唯一性结果。
• 在拓扑不同于 ℝ×S² 的柯西面上构造满足贝尔克霍夫定理条件的初值数据集。
• 证明从此类数据演化而来的时空可能缺乏静态区域、渐近平坦性或 de Sitter 类似行为。
• 表明贝尔克霍夫定理可从抽象或显式构造的初值数据中识别时空的全局几何，包括负 ADM 质量的情况。
• 将对局部球对称时空的理解扩展至史瓦西与史瓦西-de Sitter 最大解析延拓之外的范畴。

提出的方法

• 在具有非标准拓扑（如 ℝP³ 和 S¹ ×̃ S²）的柯西面上构造球对称初值数据集。
• 利用定理：球对称初值数据演化为球对称时空，从而将初值数据与全局结构联系起来。
• 应用群论方法计算商流形（如 ℝP²、ℝP³ 和 S¹ ×̃ S²）的等距群，以验证剩余 SO(3) 对称性。
• 将贝尔克霍夫定理推广至包含正宇宙学常数的情形，表明局部几何与史瓦西-de Sitter 或 Nariai 时空一致。
• 利用贝尔克霍夫定理的局部性质，从初值数据识别全局时空几何，即使时空不与最大解析延拓全局等距。
• 应用正规化子与商群构造（定理 2）计算如 S³/ℤ₂ 和 S¹×S²/ℤ₂ 等商空间的等距群。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝尔克霍夫定理的局部性质如何影响球对称时空的全局结构？
• RQ2 在拓扑不同于 ℝ×S² 的柯西面上的初值数据集是否仍可演化为在局部与史瓦西或史瓦西-de Sitter 时空等距的时空？
• RQ3 从此类数据演化而来的时空是否必然具有静态区域、渐近平坦性或 de Sitter 类似渐近行为？
• RQ4 贝尔克霍夫定理是否可用于从初值数据识别时空的全局几何，即使该时空并非最大解析延拓？
• RQ5 如 ℝP³ 和 S¹ ×̃ S² 等商流形的等距群为何？其与原始对称群的关系如何？

主要发现

• 在 ℝP³ 上的初值演化为局部为史瓦西时空，但缺乏静态区域且非渐近平坦。
• 在 S¹ ×̃ S² 上的初值演化为局部为史瓦西时空，但具有非平凡全局拓扑且无渐近区域。
• 从具有正宇宙学常数的初值数据构造的时空在局部与史瓦西-de Sitter 或 Nariai 时空等距，但其全局结构与最大解析延拓不同。
• ℝP³−{p} 的等距群为 SO(3)，表明尽管经 ℤ₂ 作用取商，连续对称性仍被保留。
• S¹ ×̃ S² 的等距群包含 SO(3)，证实非可定向粘合后仍保留球对称性。
• 贝尔克霍夫定理成功地从抽象初值数据集及具有负 ADM 质量的构造初值数据集中识别出时空几何。