[论文解读] What scalars should we use ?

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|May 16, 2005

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 34被引用 19

一句话总结

本文主张用能够严格处理无穷大和零因子的非阿基米德代数取代物理学中传统使用的实数和复数作为标量。通过构建扩展复数的交换、结合代数（如序列的商代数），该方法为量子场论和路径积分中的无穷大提供了系统性处理方式，无需重整化，从而解决了理论物理中长期存在的问题。

ABSTRACT

There are compelling historical and mathematical reasons why we ended up, among others in Physics, with using the scalars given by the real or the complex numbers. Recently, however, infinitely many easy to construct and use other algebras of scalars have quite naturally emerged in a number of branches of Applied Mathematics. These algebras of scalars can deal with the long disturbing difficulties encountered in Physics, related to such phenomena as "infinities in Physics", "re-normalization", the "Feynman path integral", and so on. Specifically, as soon as one is dealing with scalars in algebras which - unlike the reals R and complex numbers C - are no longer Archimedean, one can deal with a large variety of "infinite" quantities and do so within the usual rules and with the usual operations of algebra. Here we present typical constructions of these recently emerged algebras of scalars, most of them non-Archimedean.

研究动机与目标

• 挑战长期以来未被质疑的假设，即只有实数或复数才能作为物理学中的标量。
• 通过引入替代标量代数，解决量子场论中持续存在的数学困难，如无穷大、路径积分和重整化问题。
• 证明具有零因子的非阿基米德代数可为物理理论提供一致且严格的框架。
• 为使用这些新标量代数重新定义希尔伯特空间和路径积分奠定基础，从而对发散现象提供更自然的处理方式。

提出的方法

• 将标量代数构造为序列的商空间，如 $\mathbb{R}^\mathbb{N}/\mathcal{I}$，其中 $\mathcal{I}$ 为可忽略序列的理想。
• 利用巴拿赫极限及其在无界序列上不可延拓的性质，说明标准广义极限的局限性。
• 引入非阿基米德代数——特别是 $^*\mathbb{R}$，即非标准实数——作为 $\mathbb{R}$ 的自然扩展，使其可容纳无穷大和无穷小标量。
• 证明巴拿赫极限无法超越有界序列的延拓，这要求转向非阿基米德结构。
• 将代数框架应用于物理问题，表明零因子与非阿基米德序可与代数一致性共存。
• 提出此类代数可替代量子力学与场论中的标准实数/复数标量，从而实现费曼路径积分的严格计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在物理学中使用实数和复数作为标量已成为一种未明言的公理？这一假设的后果是什么？
• RQ2 能否构造出允许在量子场论中严格处理无穷大的非阿基米德标量代数？
• RQ3 广义极限（如巴拿赫极限）能否延拓至无界序列？这对标量代数意味着什么？
• RQ4 零因子与非阿基米德序如何影响标量代数在物理理论中的一致性与实用性？
• RQ5 能否使用这些新标量代数重新定义费曼路径积分与希尔伯特空间形式化，从而消除对重整化的依赖？

主要发现

• 通过反证法证明巴拿赫广义极限无法超越有界序列，使用无界序列 $\nu(n) = n$ 可导出 $0 = 1$，从而表明其不可延拓。
• 非阿基米德代数（如 $^*\mathbb{R}$）自然包含无穷大和无穷小标量，使物理中无穷大的严格处理成为可能。
• 这些代数中存在零因子并非缺陷，而是优点，因为矩阵与 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 上的代数本身已具有此性质。
• 标准泛函分析无法严格处理无穷大，表明必须采用替代标量代数，以建立量子场论一致的数学基础。
• 这些新代数允许以系统化且代数化的方式处理发散现象，无需依赖重整化或临时手段。
• 本文为重新定义希尔伯特空间和在这些代数中计算费曼路径积分奠定了基础，为解决量子力学中的基础性问题提供了潜在解决方案。