[论文解读] When deep denoising meets iterative phase retrieval

Yaotian Wang, Xiaohang Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文通过构建一种整合了正则化去噪（RED）与傅里叶振幅约束的临近优化框架，将深度去噪与迭代相位恢复统一起来。证明了使用指示函数表示支持域与非负性约束的ADMM算法，其形式等价于混合输入输出（HIO）与混合投影-反射（HPR）算法，从而在理论上建立了基于深度学习的去噪方法与经典相位恢复方法之间的等价性。

ABSTRACT

Recovering a signal from its Fourier intensity underlies many important applications, including lensless imaging and imaging through scattering media. Conventional algorithms for retrieving the phase suffer when noise is present but display global convergence when given clean data. Neural networks have been used to improve algorithm robustness, but efforts to date are sensitive to initial conditions and give inconsistent performance. Here, we combine iterative methods from phase retrieval with image statistics from deep denoisers, via regularization-by-denoising. The resulting methods inherit the advantages of each approach and outperform other noise-robust phase retrieval algorithms. Our work paves the way for hybrid imaging methods that integrate machine-learned constraints in conventional algorithms.

研究动机与目标

• 通过构建统一的优化框架，弥合基于深度学习的去噪与迭代相位恢复方法之间的鸿沟。
• 证明当使用指示函数表示对象域约束时，ADMM对应于HIO与HPR等经典相位恢复算法。
• 通过临近算子与凸优化方法，为在相位恢复中使用去噪先验提供理论依据。
• 在特定约束条件下，建立基于ADMM的优化与经典迭代算法之间的数学等价性。
• 将分析扩展至非负实部约束情形，使其与β=1的HPR算法建立联系。

提出的方法

• 为结合凸约束集𝒞的指示函数与通过正则化去噪（RED）获得的去噪先验的正则化目标，构建一个临近算子。
• 利用帕塞瓦尔定理与复共轭优化，推导出傅里叶振幅保真项临近算子的闭式解。
• 通过一阶最优性条件，证明傅里叶项的临近解是输入信号与相位恢复投影的凸组合。
• 应用ADMM算法求解包含傅里叶幅度约束与对象域约束的约束优化问题。
• 证明当对支持域与非负实部约束使用特定指示函数时，ADMM更新规则退化为HIO与HPR算法。
• 证明次微分的预解算子对应于对约束集的投影，从而实现与经典迭代方法的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过临近优化框架，正式地将深度去噪整合进迭代相位恢复的框架中？
• RQ2 ADMM与指示函数之间的数学关系，与HIO与HPR等经典相位恢复算法之间有何关联？
• RQ3 在何种条件下，相位恢复的ADMM更新规则会精确退化为HIO或HPR算法？
• RQ4 非负实部约束的引入如何影响ADMM与HPR之间的等价性？
• RQ5 能否利用复数优化与帕塞瓦尔定理，为傅里叶振幅保真项的临近算子推导出闭式解？

主要发现

• 基于RED的正则化目标的临近算子，产生输入信号与去噪信号的凸组合，并将其投影到约束集𝒞上。
• 傅里叶振幅保真项的临近算子解，为输入信号与相位恢复投影的加权平均，权重取决于惩罚参数τ。
• 当使用支持域约束（𝒞 = 𝒮）时，ADMM更新规则精确退化为β=1的HIO算法，通过推导辅助变量m^{k+1}的等价递推关系得以证明。
• 当加入非负实部约束（𝒞 = 𝒮₊）时，ADMM更新序列与β=1的HPR算法完全一致，证实了理论等价性。
• 推导结果表明，傅里叶项临近问题的解是全局最优的，因为当相位对齐时三角不等式条件达到等号。
• 理论框架表明，通过ADMM可将深度去噪嵌入经典相位恢复求解器中，且保持与HIO和HPR相同的收敛不动点。