[论文解读] When is the underlying space of an orbifold a topological manifold

Christian Lange|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过分类作用在欧氏空间上且商空间同胚于原向量空间的有限群，解决了轨道丛底空间为拓扑流形的条件。关键结果明确了此类商空间保持为拓扑流形的群论与几何条件，该结论亦可推广至球面上的作用。

ABSTRACT

Abstract. We answer the question posed by Davis: “When is the underlying space of an orbifold a topological manifold”. It amounts to the classification of finite groups acting linearly on a Euclidean vector space such that the quo-tient space is homeomorphic to the original vector space. We also treat the corresponding problem for actions on unit spheres. 1.

研究动机与目标

• 确定有限线性群作用在欧氏空间上时，商空间同胚于原空间的条件。
• 对作用在 R^n 上使得轨道空间为拓扑流形的有限群进行分类。
• 将分类结果推广至单位球面 S^{n-1} 上的作用，并确定轨道空间为拓扑流形的条件。
• 解决戴维斯提出的问题：关于轨道丛底空间的拓扑结构。
• 对产生拓扑流形商空间的线性作用提供完整刻画。

提出的方法

• 分析以原点为唯一不动点的有限群在 R^n 上的作用。
• 应用等变拓扑及变换群理论结果，研究轨道空间的结构。
• 利用有限线性群在球面上作用的分类，推导出商流形的条件。
• 应用 Kervaire-Laudenbach 猜想在球面上群作用的解法。
• 运用代数拓扑与几何群论技术，分析局部齐性与局部有限性。
• 将问题约化为群论不变量，如存在忠实线性表示使得商空间同胚于 R^n。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有限线性群作用在 R^n 上的商空间同胚于 R^n？
• RQ2 哪些有限群可在线性作用于 R^n 上，使得轨道空间为拓扑流形？
• RQ3 有限线性作用在 S^{n-1} 上时，其轨道空间在何时为拓扑流形？
• RQ4 何种线性群作用的商空间为拓扑流形，特别是在低维情形下？
• RQ5 欧氏空间上的结果如何推广至球面上的作用？

主要发现

• 有限线性群作用在 R^n 上的商空间同胚于 R^n，当且仅当该群作为 O(n) 的有限子群，且在球面上同调上作用平凡。
• 分类结果表明，此类作用恰好是复向量空间中特定条件下由复反射生成的群。
• 对于球面上的作用，商空间为拓扑流形的充要条件是群为 O(n) 的有限子群，且在 S^{n-1} 上自由作用，且商空间单连通。
• 本文建立：轨道丛的底空间为拓扑流形，当且仅当局部群作用为线性作用，且商空间局部同胚于欧氏空间。
• 结果证实：在 R^n 中仅产生拓扑流形商空间的有限群，恰好是那些具有平凡同调障碍的复反射群。
• 本文对这类群提供了完整刻画，表明它们必须属于特定类型，包括偶数维中的二阶循环群。