[论文解读] Whittaker functions on orthogonal groups of odd degree

Taku Ishii|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文为奇数秩正交群 $SO_{2n+1}(\bbR)$ 上的一类 Whittaker 函数提供了显式的递归公式，推广了 Stade 对 $SL_n(\bbR)$ 的工作。通过梅林-巴恩斯积分表示以及基本 Whittaker 函数的递归分解，推导出一个多重梅林变换公式，将 $SO_{2n+1}(\bbR)$ 上 Whittaker 函数的梅林变换与 $SO_{2n-1}(\bbR)$ 上的变换联系起来，为自守形式中的阿基米德 $L$-因子计算提供了强大工具。

ABSTRACT

We give explicit formulas for Whittaker functions for the class one principal series representations of the orthogonal groups $ SO_{2n+1}(\R) $ of odd degree. Our formulas are similar to the recursive formulas for Whittaker functions on $SL_n(\R)$ given by Stade and the author \cite{ISt}. Some parts of our results are announced in \cite{I3}.

研究动机与目标

• 推导 $SO_{2n+1}(\bbR)$ 上一类 Whittaker 函数的显式公式，扩展已知的 $SL_n(\bbR)$ 结果。
• 建立 $SO_{2n+1}(\bbR)$ 与 $SO_{2n-1}(\bbR)$ 上 Whittaker 函数之间的递归结构，类似于 Stade 对 $SL_n(\bbR)$ 所建立的递归公式。
• 为 Whittaker 函数的多重梅林变换建立梅林-巴恩斯型积分表示，便于在解析数论中应用。
• 通过将其转化为更具计算可行性的递归形式，克服 Jacquet 积分表示的局限性。

提出的方法

• 通过 $n$ 的归纳法，推导出 $SO_{2n+1}(\bbR)$ 上 Whittaker 函数的梅林-巴恩斯变换 $T_\nu^n(s)$ 的递归公式。
• 利用梅林反演公式以及修正贝塞尔函数 $K_{2\nu_n}(z)$ 的已知积分表示，将 Whittaker 函数分解为低秩分量。
• 引入涉及 $u_i$ 参数的变量替换，将 $n$ 维积分分解为关于 $u_i$ 与 $y_i$ 的嵌套积分。
• 利用恒等式 $\int_0^\infty (1+u)^{-(x+y)} u^y \frac{du}{u} = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}主动计算 $u_i$ 积分，得到伽马函数的比值。
• 依赖 Hashizume 的一类 Whittaker 函数展开公式以及基本 Whittaker 函数的递归结构，将 $T_\nu^n(s)$ 与 $T_{\tilde{\nu}}^{n-1}(-t_1,\dots,-t_{n-1})$ 联系起来。
• 通过实部 $\tau_j$ 对复参数 $s_j$ 与 $t_j$ 施加收敛性条件，确保多重围线积分的解析性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出与 Stade 对 $SL_n(\bbR)$ 所建立的递归结构相仿的 $SO_{2n+1}(\bbR)$ 上 Whittaker 函数的递归公式？
• RQ2 如何将 Whittaker 函数的 Jacquet 积分表示转化为更具分析控制力的梅林-巴恩斯型积分？
• RQ3 一类 Whittaker 函数在 $SO_{2n+1}(\bbR)$ 上的多重梅林变换 $T_\nu^n(s)$ 的精确形式为何？它与低秩变换之间有何关系？
• RQ4 复参数 $s_j$ 与 $t_j$ 的收敛条件是什么，以确保递归积分公式的有效性？

主要发现

• 本文为 $SO_{2n+1}(\bbR)$ 上一类 Whittaker 函数的多重梅林变换 $T_\nu^n(s)$ 建立了有效的梅林-巴恩斯型递归积分公式，适用于 $n \geq 2$。
• 该递归公式将 $T_\nu^n(s)$ 表示为关于 $n-1$ 个复变量 $t_i$ 的多重围线积分，包含伽马函数的乘积与低秩变换 $T_{\tilde{\nu}}^{n-1}(-t_1,\dots,-t_{n-1})$。
• 收敛区域 $\Omega$ 由 $\tau_j$ 与 $\eta_j$ 的条件定义，确保 $s_j$ 的实部超过由 $\nu_n$ 与 $\tau_{j-1}$ 导出的某些界限。
• 当 $n=1$ 时，公式退化为 $T_\nu^1(s) = 2^{-1}\Gamma(s_1 + \nu_1)\Gamma(s_1 - \nu_1)$，与已知的 $K$-贝塞尔函数梅林变换一致。
• 推导依赖于 Whittaker 函数的梅林反演以及 $K_{2\nu_n}(z)$ 的积分表示，从而可通过 $u_i$-积分实现递归分解。
• 该方法通过类比梅林-巴恩斯形式的启发式方法，避免了直接计算 Jacquet 积分，从而获得清晰的递归结构。