[论文解读] Whittaker Modules For The W-algebra W(2,2)

Bin Wang, Junbo Li|ArXiv.org|Feb 10, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文通过中心特征标对 $W(2,2)$ 代数的简单 Whittaker 模进行分类，建立了类似于 Kostant 在半单李代数上的结果的对应关系。证明了任意通用 Whittaker 模的子模都包含一个 Whittaker 向量，并将任意 Whittaker 模分解为不可约分成分，其中子模由对称代数 $S(z)$ 中的 Whittaker 向量生成。

ABSTRACT

In this paper, Whittaker modules for the W-algebra W(2,2) are studied. We obtain analogues to several results from the classical setting and the case of the Virasoro algebra, including a classification of simple Whittaker modules by central characters and composition series for general Whittaker modules.

研究动机与目标

• 将 Whittaker 模理论从有限维李代数和 Virasoro 代数推广到无限维的 $W(2,2)$ 代数。
• 通过中心特征标对 $W(2,2)$ 的简单 Whittaker 模进行分类，推广 Kostant 对半单李代数的分类结果。
• 刻画任意 Whittaker 模的结构，包括其子模和合成列。
• 证明任意通用 Whittaker 模的子模都包含一个非零 Whittaker 向量，且该证明方法适用于无限生成代数。

提出的方法

• 将通用 Whittaker 模 $M_\varphi$ 构造为泛包络代数 $\mathcal{U}(\mathcal{W})$ 关于由特征标 $\varphi$ 定义的双边理想的商。
• 利用 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理，在对称代数 $S(z)$（其中 $z$ 为中心元）上建立 $\mathcal{U}(\mathcal{W})$ 的基。
• 在 $\mathcal{W}$ 上引入一个分次，定义 $\mathcal{W}_-$、$\mathcal{W}_0$ 和 $\mathcal{W}_+$，从而构造出类似 Verma 模的模。
• 提出 Lemma 3.3 的新证明，表明任意非零子模都包含一个非零 Whittaker 向量，且该证明不依赖于有限维情形。
• 利用 $S(z)$-模的结构以及 $z$ 的作用，分析不可约分模中零化子和 Whittaker 向量的性质。
• 应用定理 5.1.2 将 $M/M^\prime$ 分解为直和 $\overline{M_i}$，其中每个 $\overline{M_i}$ 由商模中的 Whittaker 向量生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过中心特征标对无限维 $W(2,2)$ 代数的 Whittaker 模进行分类，使其类比于 Kostant 对半单李代数的分类？
• RQ2 任意通用 Whittaker 模的子模是否都包含一个非零 Whittaker 向量？该结论能否在不依赖有限维性假设的前提下得到证明？
• RQ3 任意 $W(2,2)$ 代数的 Whittaker 模具有怎样的结构？如何将其分解为不可约分成分？
• RQ4 Whittaker 模的子模是如何生成的？对称代数 $S(z)$ 在此生成过程中起到什么作用？

主要发现

• 通过中心特征标对 $W(2,2)$ 的简单 Whittaker 模进行了分类，每个不可约 Whittaker 模对应于中心的一个极大理想。
• 任意非零子模都包含一个非零 Whittaker 向量，该结论以一种可推广至有限维情形之外的方式得到证明。
• 任意类型为 $\varphi$ 的 Whittaker 模 $V$ 可分解为不可约分 Whittaker 模 $V_i$ 的直和，每个 $V_i$ 由一个循环 Whittaker 向量生成。
• 任意 Whittaker 模的子模本身也是 Whittaker 模，由集合 $Wh(V)$ 中的元素生成，其中 $Wh(V)$ 等于 $S(z)w$（$w$ 为循环 Whittaker 向量）。
• 若 Whittaker 模 $V$ 拥有一个循环 Whittaker 向量 $w$，且满足 $\mathrm{Ann}_{S(z)}(w) = 0$，则 $V \simeq M_\varphi$，即通用 Whittaker 模。
• 对于 $M = M_\varphi$ 与 $M^\prime = \mathcal{U}(\mathcal{W})p(z)w$，$M/M^\prime$ 的合成列可分解为 $\overline{M_1} \oplus \cdots \oplus \overline{M_r}$，其中每个 $\overline{M_i}$ 由商模中的 Whittaker 向量生成。