[论文解读] Why bouncing droplets are a pretty good model of quantum mechanics

Robert M. Brady, Ross Anderson|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用 13

一句话总结

本文解释了为何在振动流体表面弹跳的液滴可作为量子力学的宏观类比，展示了洛伦兹协变性、一个以常数替代普朗克常数的薛定谔方程类比、类似电磁相互作用的平方反比力，以及类似泡利不相容原理的自旋二分之一对称性与反对称波函数。该模型再现了类似量子的效应，如隧道效应、衍射和量子化轨道。

ABSTRACT

In 2005, Couder, Protiere, Fort and Badouad showed that oil droplets bouncing on a vibrating tray of oil can display nonlocal interactions reminiscent of the particle-wave associations in quantum mechanics; in particular they can move, attract, repel and orbit each other. Subsequent experimental work by Couder, Fort, Protiere, Eddi, Sultan, Moukhtar, Rossi, Molacek, Bush and Sbitnev has established that bouncing drops exhibit single-slit and double-slit diffraction, tunnelling, quantised energy levels, Anderson localisation and the creation/annihilation of droplet/bubble pairs. In this paper we explain why. We show first that the surface waves guiding the droplets are Lorentz covariant with the characteristic speed c of the surface waves; second, that pairs of bouncing droplets experience an inverse-square force of attraction or repulsion according to their relative phase, and an analogue of the magnetic force; third, that bouncing droplets are governed by an analogue of Schroedinger's equation where Planck's constant is replaced by an appropriate constant of the motion; and fourth, that orbiting droplet pairs exhibit spin-half symmetry and align antisymmetrically as in the Pauli exclusion principle. Our analysis explains the similarities between bouncing-droplet experiments and the behaviour of quantum-mechanical particles. It also enables us to highlight some differences, and to predict some surprising phenomena that can be tested in feasible experiments.

研究动机与目标

• 解释观测到的弹跳液滴系统中类量子行为的物理机制。
• 建立一个经典流体动力学模型，重现诸如隧道效应、衍射和量子化能级等关键量子现象。
• 证明液滴-波系统表现出洛伦兹协变性，并具有以常数替代普朗克常数的薛定谔方程类比。
• 表明成对绕行的液滴表现出自旋二分之一对称性与反对称波函数，与泡利不相容原理相一致。
• 预测新颖且可测试的现象，如波介导的旋转和液滴系统中的偏振光类比。

提出的方法

• 推导振动流体浴表面波的波方程，表明由于参数驱动和表面张力效应，波速 $ c $ 降低。
• 确立液滴的运动由洛伦兹协变的波场控制，其中表面波速 $ c $ 充当系统中的基本常数。
• 将液滴间的相互作用建模为依赖于相对相位的平方反比力，另存在由相位梯度引起的磁类似力。
• 表明液滴的轨迹遵循一个类似于含时薛定谔方程的方程，其中普朗克常数被一个与系统能量和波速相关的运动常数所取代。
• 使用波函数表示法分析绕行液滴对，其表现出自旋二分之一对称性与交换下的反对称性，与泡利不相容原理一致。
• 使用布洛赫球表示法将液滴的相位与取向映射到量子自旋态，确认在 $ 2\pi $ 旋转下表现出双重覆盖行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在振动流体表面弹跳的液滴如何再现类量子现象，如隧道效应和衍射？
• RQ2 液滴间有效作用力的起源是什么？它是否类似于电磁或引力相互作用？
• RQ3 该液滴系统能否用一个类似于薛定谔方程的方程描述？普朗克常数由什么取代？
• RQ4 成对绕行的液滴是否表现出自旋二分之一行为与反对称波函数，如泡利不相容原理所预测？
• RQ5 该系统能否表现出偏振光等其他类量子现象？这些预测是否可实验验证？

主要发现

• 引导液滴的表面波具有洛伦兹协变性，波速 $ c $ 作为系统中的基本速度极限。
• 液滴对之间因相对相位不同而经历吸引或排斥的平方反比力，另存在由相位梯度引起的磁类似力。
• 液滴动力学由一个类似于含时薛定谔方程的方程控制，其中普朗克常数被一个由系统能量和波速导出的运动常数所取代。
• 绕行液滴对表现出自旋二分之一对称性，波函数在旋转群的双重覆盖下变换，与费米子行为一致。
• 当两对液滴彼此靠近时，总波场在交换下变为反对称，模仿泡利不相容原理。
• 该模型预测，靠近边界突起的液滴将因相位不对称而受到旋转力，且系统中可出现类似于光偏振的偏振波态。