[论文解读] Why the 1-Wasserstein distance is the area between the two marginal CDFs

Marco de Angelis, Ander Gray|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2021

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 2被引用 10

一句话总结

本文证明了两个一元概率分布之间的1- Wasserstein距离等于其累积分布函数（CDF）之间面积。通过证明Wasserstein距离的最优耦合由$M$对 copula（完美正相关）实现，将距离简化为分位数函数绝对差值的积分，该积分在几何上对应于CDF之间的面积。

ABSTRACT

We elucidate why the 1-Wasserstein distance $W_1$ coincides with the area between the two marginal cumulative distribution functions (CDFs). We first describe the Wasserstein distance in terms of copulas, and then show that $W_1$ with the Euclidean distance is attained with the $M$ copula. Two random variables whose dependence is given by the $M$ copula manifest perfect (positive) dependence. If we express the random variables in terms of their CDFs, it is intuitive to see that the distance between two such random variables coincides with the area between the two CDFs.

研究动机与目标

• 解释为何两个一元分布之间的1-Wasserstein距离等于其CDF之间的面积。
• 使用对 copula 对Wasserstein距离进行形式化，并证明$M$对 copula 达到下确界。
• 证明通过$M$对 copula 实现的完美正相关可使1-Wasserstein度量中的运输成本最小化。
• 在随机优势和非重叠支撑条件下，提供$W_1$的解析表达式。

提出的方法

• 通过Sklar定理使用对 copula 表达1-Wasserstein距离，将其重写为$W_1(X,Y) = \int_{[0,1]^2} |F_X^{-1}(u) - F_Y^{-1}(v)| \, dC(u,v)$。
• 证明所有对 copula $C$中下确界在$M$对 copula处达到，其中$M(u,v) = \min\{u,v\}$，该对 copula 引入完美正相关。
• 推导出$W_1$的等价表达式为$\int_{[0,1]} |F_X^{-1}(u) - F_Y^{-1}(u)| \, du$，表明其等于逆CDF之间面积。
• 使用边际CDF表示$\mathbb{E}|X-Y|$的另一种形式：$\int_{-\infty}^{\infty} \left(F_X(t) + F_Y(t) - 2C(F_X(t), F_Y(t)) \right) dt$，并证明当$C = M$时该表达式最小化。
• 建立在随机优势（对所有$u$有$F_X^{-1}(u) > F_Y^{-1}(u)$）下，$W_1(X,Y) = \mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[Y]$。
• 证明对于支撑集非重叠的随机变量，$W_1(X,Y)$等于其期望的绝对差值，且与依赖结构无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何两个一元分布之间的1-Wasserstein距离等于其CDF之间的面积？
• RQ2 哪种对 copula 结构使1-Wasserstein距离最小化？为何其对应于完美正相关？
• RQ3 使用分位数函数和对 copula 如何将Wasserstein距离转化为几何面积？
• RQ4 在何种条件下$W_1(X,Y)$简化为期望之差？
• RQ5 在1-Wasserstein度量中，$M$对 copula 在实现最小运输成本中起什么作用？

主要发现

• 由于最优耦合由$M$对 copula 实现，1-Wasserstein距离$W_1(X,Y)$等于$X$和$Y$的CDF之间的面积。
• 1-Wasserstein距离的最优耦合由$M$对 copula 给出，其在概率积分变换中强制$u = v$，从而得到$W_1(X,Y) = \int_0^1 |F_X^{-1}(u) - F_Y^{-1}(u)| \, du$。
• 在随机优势（$X \succ Y$）下，1-Wasserstein距离简化为$\mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[Y]$。
• 对于支撑集非重叠的随机变量，$W_1(X,Y)$等于$|\mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[Y]|$，且与依赖结构无关。
• $M$对 copula 最小化被积函数$F_X(t) + F_Y(t) - 2C(F_X(t), F_Y(t))$，从而最小化Wasserstein距离。
• 对$W_1$的面积解释具有几何直观性：当通过完美依赖耦合时，其对应于逆CDF图像之间的面积。