[论文解读] Wilder McKay correspondences

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文通过将 motivic 积分和弦理论不变量推广至非线性群作用于奇异概形的情形，结合去扭技术与中心化对数 D-概形，将 McKay 对应关系推广至任意特征（包括野生情形）。论文提出了一个关于弦理论不变量的猜想性质量公式，以 G-覆盖上的 motivic 积分形式表达，并在特定的驯服与野生情形中得到验证，同时通过局部伽罗瓦表示的质量公式将结果与数论联系起来。

ABSTRACT

A conjectural generalization of the McKay correspondence in terms of stringy invariants to arbitrary characteristic, including the wild case, was recently formulated by the author in the case where the given finite group linearly acts on an affine space. In cases of very special groups and representations, the conjecture has been verified and related stringy invariants have been explicitly computed. In this paper, we try to generalize the conjecture and computations to more complicated situations such as non-linear actions on possibly singular spaces and non-permutation representations of non-abelian groups.

研究动机与目标

• 将野生 McKay 对应关系从仿射空间上的线性作用推广至奇异概形上的非线性作用。
• 在正特征与混合特征情形下，利用 motivic 积分建立计算弦理论不变量的框架。
• 将猜想推广至非阿贝尔群与非置换表示的情形。
• 建立弦理论不变量与局部伽罗瓦表示的质量公式之间的联系。
• 引入并形式化中心化对数 D-概形的概念，以处理非线性情形下的奇点与共形态射。

提出的方法

• 在 G-弧空间上使用 motivic 积分，将弦理论不变量表示为基离散赋值环上 G-覆盖的积分。
• 应用去扭技术将 G-弧转化为辅助概形 V|F| 上的普通弧，从而通过标准 motivic 积分进行计算。
• 引入中心化对数 D-概形 (X, ∆, W) 以编码奇点与除子数据，将弦理论不变量推广至奇异与非线性情形。
• 通过中心化子作用下的商弧空间定义精化弦理论动机 Mst,CG(H)(v|F|,ν)，以处理稳定子群。
• 利用 motivic 积分中的变量替换公式，将不同 G-覆盖的贡献关联至总弦理论动机。
• 通过等变嵌入将非线性 G-概形嵌入线性表示中，再将构造限制于子概形上，从而推广线性情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将野生 McKay 对应关系推广至正特征下非线性群作用于奇异仿射概形的情形？
• RQ2 由非线性作用产生的商概形的弦理论动机的精确形式是什么？如何计算它？
• RQ3 motivic 积分中的权重如何与去扭概形 v|F|,ν 及其奇点的几何不变量相关联？
• RQ4 该猜想是否可在非驯服、非阿贝尔、非置换情形下得到验证，例如特征为 2 时的 S4 作用？
• RQ5 精化权重 Mst,CG(H)(v|F|,ν) 的数论解释是什么？其与局部扩张和伽罗瓦表示的质量公式有何关系？

主要发现

• 通过等变嵌入与中心化对数结构，将猜想推广至非线性作用于奇异概形的情形，Conjecture 7.3 提出在 G-覆盖上进行 motivic 积分。
• 在两个新例子中验证了野生 McKay 对应关系：一个驯服奇异情形（第 9 节）与一个野生非线性情形（第 10 节），两者均涉及 A1 与 D02n 奇点。
• 商概形 x = v/G 的弦理论动机 Mst(x) 表示为 G-覆盖上的 motivic 积分，其贡献由 Mst,CG(H)(v|F|,ν) 加权，后者为 L 或 L1/n 的有理函数。
• 在野生非线性例子中（第 10 节），去扭概形 v|F|,ν 展现出 A1 与 D02n 奇点，与 Artin 在正特征下对有理双曲点的分类一致。
• 权重 Mst,CG(H)(v|F|,ν) 被证明具有几何意义，预计将在数论中产生新的质量公式，推广经典驯服情形的结果。
• 本文建立了 motivic 积分与数论之间的桥梁，表明猜想中的精化权重可实现对 G-覆盖与局部伽罗瓦表示的加权计数。