[论文解读] Word-representability of split graphs

Sergey Kitaev, Yangjing Long+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文通过识别当独立集中的顶点度数至多为2或团大小为4时的禁止子图，刻画了可词表示的分裂图。它为分裂图中的半传递定向提供了必要且充分的条件，建立了通过定向性质确定可词表示性的关键框架，并引入了新的图类 $K_{\text{loc}}^k$ 和 $A_\text{loc}$，前者始终可词表示，后者始终不可词表示。

ABSTRACT

Letters $x$ and $y$ alternate in a word $w$ if after deleting in $w$ all letters but the copies of $x$ and $y$ we either obtain a word $xyxy\cdots$ (of even or odd length) or a word $yxyx\cdots$ (of even or odd length). A graph $G=(V,E)$ is word-representable if and only if there exists a word $w$ over the alphabet $V$ such that letters $x$ and $y$ alternate in $w$ if and only if $xy\in E$. It is known that a graph is word-representable if and only if it admits a certain orientation called semi-transitive orientation. Word-representable graphs generalize several important classes of graphs such as $3$-colorable graphs, circle graphs, and comparability graphs. There is a long line of research in the literature dedicated to word-representable graphs. However, almost nothing is known on word-representability of split graphs, that is, graphs in which the vertices can be partitioned into a clique and an independent set. In this paper, we shed a light to this direction. In particular, we characterize in terms of forbidden subgraphs word-representable split graphs in which vertices in the independent set are of degree at most 2, or the size of the clique is 4. Moreover, we give necessary and sufficient conditions for an orientation of a split graph to be semi-transitive.

研究动机与目标

• 为填补对分裂图（即划分为团与独立集的图类）可词表示性理解的空白。
• 刻画当独立集中的顶点度数至多为2时的可词表示分裂图。
• 刻画当团大小为4时的可词表示分裂图。
• 为分裂图定向的半传递性提供必要且充分的条件，这是可词表示性的关键性质。
• 引入并分析新的图族（$K_{\text{loc}}^k$，$A_\text{loc}$），前者始终可词表示，后者为最小不可词表示图族。

提出的方法

• 利用已知的可词表示图与存在半传递定向的图之间的等价性。
• 基于团中哈密顿路径的邻接结构，定义并分析分裂图中的顶点类型（A、B、C）。
• 引入图类 $K_{\text{loc}}^k$，通过向 $K_\text{loc}$ 团添加 $\text{loc}$ 个顶点构成，每个顶点连接圆周上 $k$ 个连续顶点，且满足 $\text{loc} \geq 2k-1$ 的条件。
• 证明此类 $K_{\text{loc}}^k$ 图始终可词表示，方法为对团采用传递定向，并适当地分配顶点类型。
• 通过顶点类型转换与捷径约束，对分裂图中的半传递定向进行刻画。
• 利用定理18推导出半传递定向的必要且充分条件，从而实现对可词表示分裂图的系统分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些独立集顶点度数至多为2的分裂图是可词表示的？
• RQ2 哪些具有 $K_4$ 团的分裂图是可词表示的？
• RQ3 分裂图定向为半传递的必要且充分条件是什么？
• RQ4 在分裂图类中，哪些图族本质上可词表示或为最小不可词表示？
• RQ5 顶点类型（A、B、C）及其转换如何影响分裂图的半传递定向？

主要发现

• 当独立集中的顶点度数至多为2时，分裂图可词表示当且仅当其不包含某些禁止子图，如定理12所刻画。
• 当团大小为 $K_4$ 时，分裂图可词表示当且仅当其不包含特定禁止子图，如定理14所确立。
• 图类 $K_{\text{loc}}^k$（通过向 $K_\text{loc}$ 圆周添加 $\text{loc}$ 个顶点构成，每个顶点连接 $k$ 个连续顶点，且 $\text{loc} \geq 2k-1$）始终可词表示，如推论20所示。
• 图类 $A_\text{loc}$（推广了已知的不可词表示图 $T_1$）对所有 $\text{loc} \geq 4$ 均为最小不可词表示图，如定理11所证明。
• 分裂图的定向为半传递当且仅当相对于团中的哈密顿路径，不存在类型A或B的顶点违反捷径条件，如定理18所形式化。
• 独立集中的类型A和B顶点可互换而不破坏半传递性，如定理21所示，这表明有效定向中存在结构对称性。