[论文解读] $\wp$-adic continuous families of Drinfeld eigenforms of finite slope

Shin Hattori|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文在函数域设定下构造了有限斜率的德林费尔德特征形式的p进连续族，将希达理论推广至德林费尔德模形式设定。在小斜率假设下，且在水平层中包含一个一次素因子时，证明了在不同权之间，Hecke特征值以p进连续方式变化，从而将特征形式从权k扩展至更高权k'，并保持受控的℘-进同余关系。

ABSTRACT

Let $p$ be a rational prime, $v_p$ the normalized $p$-adic valuation on $\mathbb{Z}$, $q>1$ a $p$-power and $A=\mathbb{F}_q[t]$. Let $\wp\in A$ be an irreducible polynomial and $\mathfrak{n}\in A$ a non-zero element which is prime to $\wp$. Let $k\geq 2$ and $r\geq 1$ be integers. We denote by $S_k(Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r))$ the space of Drinfeld cuspforms of level $Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r)$ and weight $k$ for $A$. Let $n\geq 1$ be an integer and $a\geq 0$ a rational number. Suppose that $\mathfrak{n}\wp$ has a prime factor of degree one and the generalized eigenspace in $S_k(Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r))$ of slope $a$ is one-dimensional. In this paper, under an assumption that $a$ is sufficiently small, we construct a family $\{F_{k'}\mid v_p(k'-k)\geq \log_p(p^n+a)\}$ of Hecke eigenforms $F_{k'}\in S_{k'}(Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r))$ of slope $a$ such that, for any $Q\in A$, the Hecke eigenvalues of $F_k$ and $F_{k'}$ at $Q$ are congruent modulo $\wp^κ$ with some $κ>p^{v_p(k'-k)}-p^n-a$.

研究动机与目标

• 将希达型p进族推广至函数域设定下的德林费尔德模形式。
• 解决德林费尔德情形下基环非诺特环的问题，该问题阻碍了标准特征幂级数方法的应用。
• 建立有限斜率的德林费尔德特征形式p进族中特征值在权之间连续变化的性质。
• 证明在特定斜率与权条件下，不同权下Hecke算子的特征值模高次幂℘保持同余。

提出的方法

• 在小斜率假设下，构造了权$ k' $满足$ v_p(k' - k) \to \frac{1}{2} $时，$ S_{k'}(\tilde{\rho}_1(\frak{n}, \frak{p}^r)) $中Hecke特征形式族$ F_{k'} $。
• 利用斜率$ a $的广义特征空间为一维，并假设$ a < \text{min}\big\brace{D(n,d,\theta), k-1\big\brace} $，其中$ d = [\tilde{\rho}_1(\frak{p}):\tilde{\rho}_1(\frak{n}, \frak{p}^r)] $。
• 应用$ \frak{p} $-进赋值条件：$ v_{\frak{p}}(\tilde{\rho}_\frak{p}(\tilde{\rho}_Q(F_{k'}) - \tilde{\rho}_Q(F_k))) > p^{v_p(k'-k)} - p^n - a $，以确保特征值的连续性。
• 依赖于$ \frak{n}\frak{p} $中存在一个一次素因子$ \frak{p} $，这使得能够控制模形式空间与Hecke作用的结构。
• 使用$ \frak{p} $-进完备化$ \bb{C}_{\frak{p}} $与归一化的$ \frak{p} $-进赋值$ v_{\frak{p}} $来定义特征值同余关系。
• 运用德林费尔德模形式上的调和上链与Hecke算子理论，通过低权情形（如$ k=10,19 $）的显式计算验证同余关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在函数域设定下构造出类似于数域情形希达族的有限斜率德林费尔德特征形式的p进族？
• RQ2 当基环非诺特环时，如何实现特征值在权之间连续变化？
• RQ3 在何种条件下，不同权下Hecke算子的特征值模高次幂$ \frak{p} $保持同余？
• RQ4 此类族中特征值差的$ \frak{p} $-进赋值的精确上界是什么？
• RQ5 是否存在非平凡的零斜率特征形式，其所有Hecke算子的特征值恒为常数？

主要发现

• 当$ k \to k' $且$ v_p(k' - k) \to \frac{1}{2} $时，若$ a < D(n,d,\theta) $且$ d(k,a) = 1 $，则在$ S_{k'}(\tilde{\rho}_1(\frak{n}, \frak{p}^r)) $中存在斜率$ a $的德林费尔德特征形式族$ F_{k'} $。
• Hecke特征值$ \tilde{\rho}_Q(F_{k'}) $与$ \tilde{\rho}_Q(F_k) $满足$ v_{\frak{p}}(\tilde{\rho}_\frak{p}(\tilde{\rho}_Q(F_{k'}) - \tilde{\rho}_Q(F_k))) > p^{v_p(k'-k)} - p^n - a $，表明其具有强$ \frak{p} $-进连续性。
• 当$ \frak{n} = 1, \frak{p} = t, r=1 $时，该界变为$ D(1,1,1) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) $，且对$ k \to k' $，特征值同余关系模$ t^{q^s - p} $成立。
• 对于$ S_k(\tilde{\rho}_1(t)) $中的零斜率特征形式，所有Hecke特征值$ \tilde{\rho}_Q(F_k) = 1 $，通过提升至更高权并利用形式的唯一性得证。
• 在$ p = q = 3 $，$ k = 10 $，$ k' = 19 $的斜率一情形下，特征值差$ \tilde{\rho}_t(G_{10}) - \tilde{\rho}_t(G_{19}) $的$ t $-进赋值恰好为9，满足$ > 5 $的界。
• Hecke特征值并非由低水平形式稳定化而来，表明这些形式是真正的新形式，而非$ t $-稳定化形式。