[论文解读] Wrinkling hierarchy in constrained thin sheets from suspended graphene to curtains

Hugues Vandeparre, Miguel Piñeirúa+8 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Dec 20, 2010

Advanced Materials and Mechanics参考文献 2被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于“褶皱子”（wrinklons）——合并褶皱之间的局域过渡区——的通用尺度形式化理论，作为薄片在边界约束下分层褶皱的构建模块。该理论在从悬浮石墨烯（纳米尺度）到悬挂窗帘（米尺度）的全尺度范围内得到验证，通过能量最小化平衡弯曲能与张力能，解释了自相似波长演化 λ ∼ x^m 的机制，其中轻质薄片的 m ≈ 2/3，而重质薄片或受张力作用的石墨烯的 m ≈ 1/2。

ABSTRACT

We show that thin sheets under boundary confinement spontaneously generate a universal self-similar hierarchy of wrinkles. From simple geometry arguments and energy scalings, we develop a formalism based on wrinklons, the transition zone in the merging of two wrinkles, as building-blocks of the global pattern. Contrary to the case of crumple paper where elastic energy is focused, this transition is described as smooth in agreement with a recent numerical work. This formalism is validated from hundreds of nm for graphene sheets to meters for ordinary curtains, which shows the universality of our description. We finally describe the effect of an external tension to the distribution of the wrinkles.

研究动机与目标

• 解释在单边约束下薄片中观察到的从纳米尺度石墨烯到宏观窗帘的普遍自相似褶皱层级结构。
• 识别并表征‘褶皱子’——合并褶皱之间的局域过渡区——作为全局褶皱图案的基本构建单元。
• 建立一种尺度形式化理论，统一描述不同材料属性、厚度以及重力或外加张力等外部力作用下的薄片行为。
• 在多个系统中实验验证理论模型，包括悬浮双层石墨烯、橡胶窗帘、织物窗帘和聚苯乙烯薄膜。
• 通过能量平衡与尺度律阐明拉伸主导与张力主导区域之间的转变。

提出的方法

• 作者将褶皱薄片建模为在横向方向（y）不可拉伸的薄弹性膜，通过施加的波动诱导有效侧向压缩 Δ ∼ (A/λ)^2。
• 推导单位面积的弯曲能为 u_b ∼ Eh³Δ/λ²，其中 E 为杨氏模量，h 为厚度，A 为振幅，λ 为波长。
• 通过平衡弯曲能 U_b 与拉伸/张力能 U_t ∼ TΔλ³L⁻¹（T 为纵向张力）实现总能量最小化，其中 L 为褶皱子长度。
• 基于能量最小化，推导出褶皱子长度为 L(λ) ∼ λ²/h × √(T/(Eh))，该关系控制波长的空间演化。
• 预测的波长演化关系为 λ(x)/h ∼ (Eh/T)^{1/4} × (x/h)^{1/2}，适用于张力主导系统。
• 该模型在无拟合参数条件下与多尺度实验数据对比，显示重质薄片与石墨烯的实验数据均收敛于单一主曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边界约束下，薄片如何在极大不同的长度尺度上自发形成自相似褶皱层级结构？
• RQ2 局域过渡区——‘褶皱子’——在形成全局分层褶皱图案中起什么作用？
• RQ3 弯曲能与张力能之间的平衡如何调控受约束薄片中波长 λ(x) 的空间演化？
• RQ4 为何不同材料（石墨烯、橡胶、织物、聚苯乙烯）在 λ ∼ x^m 中表现出相似的幂律指数 m ≈ 1/2 或 2/3？
• RQ5 什么决定了褶皱图案中从拉伸主导（m ≈ 2/3）到张力主导（m ≈ 1/2）区域的转变？

主要发现

• 褶皱波长 λ 随距约束边缘距离 x 的增加而演化为 λ ∼ x^m，其中轻质薄片（如纸张、短织物）的 m ≈ 2/3，重质薄片（如橡胶、织物、受张力作用的石墨烯）的 m ≈ 1/2。
• 理论预测 λ(x)/h ∼ (Eh/T)^{1/4} × (x/h)^{1/2} 在无拟合参数条件下与重质薄片和石墨烯的实验数据高度吻合，证实了该模型的普适性。
• 从拉伸主导到张力主导的临界长度尺度为 x*/h ∼ (Eh/T)^{3/2}Δ，其中 Δ 为侧向压缩量。
• 对于重力主导的窗帘，临界高度 H_c ∼ h(E/ρgh)^{3/5}Δ^{2/5} 决定了张力开始占主导地位，典型织物窗帘的 H_c ≈ 1 m。
• 褶皱子长度 L(λ) ∼ λ²/h × √(T/(Eh)) 由能量最小化推导得出，控制自相似图案的形成。
• 悬浮石墨烯（λ ∼ x^0.45±0.02）、橡胶窗帘（m ≈ 1/2）和织物窗帘（m ≈ 1/2）的实验数据均收敛于单一主曲线，验证了该尺度理论在跨越6个以上数量级尺度范围内的有效性。