[论文解读] WSLD operators: A class of fourth order difference approximations for space Riemann-Liouville derivative

Minghua Chen, Weihua Deng|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用 36

一句话总结

本文提出了一类新型四阶有限差分格式——加权与移位Lubich差分（WSLD）算子，用于逼近空间Riemann-Liouville分数阶导数。通过在Lubich卷积求积框架中引入加权与移位系数，该方法在保持计算效率的同时实现了空间四阶精度，并在理论上证明了其无条件稳定，全局截断误差为$\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$，并通过一维和二维变系数分数阶扩散方程的数值实验得到验证。

ABSTRACT

Because of the nonlocal properties of fractional operators, higher order schemes play more important role in discretizing fractional derivatives than classical ones. The striking feature is that higher order schemes of fractional derivatives can keep the same computation cost with first-order schemes but greatly improve the accuracy. Nowadays, there are already two types of second order discretization schemes for space fractional derivatives: the first type is given and discussed in [Sousa & Li, arXiv:1109.2345; Chen & Deng, arXiv:1304.3788; Chen et al., Appl. Numer. Math., 70, 22-41]; and the second type is a class of schemes presented in [Tian et al., arXiv:1201.5949]. The core object of this paper is to derive a class of fourth order approximations, called the weighted and shifted Lubich difference (WSLD) operators, for space fractional derivatives. Then we use the derived schemes to solve the space fractional diffusion equation with variable coefficients in one-dimensional and two-dimensional cases. And the unconditional stability and the convergence with the global truncation error $\mathcal{O}(τ^2+h^4)$ are theoretically proved and numerically verified.

研究动机与目标

• 开发高阶、稳定且高效的用于空间分数阶导数的数值格式，此类导数具有非局部性且难以实现高精度离散化。
• 将现有二阶格式（如WSGD和基于分段线性逼近的中心差分）扩展至四阶精度，同时不增加计算成本。
• 构建一类加权与移位Lubich差分（WSLD）算子，使其在变系数分数阶扩散方程中保持稳定性和高精度。
• 严格证明所提格式的无条件稳定性和收敛性，全局截断误差为$\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$。
• 在一二维问题中对理论结果的收敛速率和稳定性进行数值验证。

提出的方法

• WSLD算子通过在Lubich的$L$阶卷积求积公式系数上施加权重与移位而导出，用于分数阶导数的离散化。
• 利用生成函数$\delta^\alpha(\zeta) = \left(\sum_{i=1}^L \frac{1}{i}(1 - \zeta)^i\right)^\alpha$定义底层差分格式，当$L=4$时可实现四阶精度。
• 将该格式应用于具有变系数的空间分数阶扩散方程，采用Crank-Nicolson型时间离散化以实现时间方向二阶精度。
• 通过谱分析证明稳定性，表明系统矩阵的逆的2-范数小于1，从而确保无条件稳定。
• 利用泰勒展开与分数阶微积分分析截断误差，得出全局误差界为$\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$。
• 数值实验采用$l_\infty$范数测量一维与二维区域中最大误差及收敛速率，并使用精确解进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在稳定且高效的有限差分格式下，对Riemann-Liouville分数阶导数实现空间四阶精度？
• RQ2 加权与移位Lubich差分（WSLD）算子是否在提升精度的同时保持无条件稳定性，优于低阶格式？
• RQ3 当应用于变系数空间分数阶扩散方程时，WSLD格式的全局收敛速率是多少？
• RQ4 WSLD方法能否在计算成本与一阶格式相当的前提下，显著提升精度？
• RQ5 WSLD算子在具有非均匀系数的多维问题中表现如何？

主要发现

• WSLD算子实现了四阶空间精度，全局截断误差为$\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$，理论与数值结果均予以证实。
• 一维问题的数值结果表明，当$h$从$1/10$到$1/60$时，收敛率约为3.7–4.0，验证了空间四阶收敛性。
• 在二维问题中，观测到3.5–4.0的收敛率，验证了WSLD格式在空间方向具有$\mathcal{O}(h^4)$的收敛性。
• 该格式保持无条件稳定，系统矩阵逆的谱范数保持有界，确保了时间推进过程中的鲁棒性。
• 由于系统矩阵具有Toeplitz-like结构，计算成本与一阶格式相当，可通过基于FFT的方法高效求解。
• 该方法在一二维变系数分数阶扩散方程中成功处理了系数变化问题，利用精确解验证了精度与收敛性。