[论文解读] Yet Another Graph Partitioning Problem is NP-Hard

Ryan H. Lewis|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明了 $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator 问题为 NP-难，引入了一种新颖的图划分约束，该约束基于子图中顶点与边的总大小来平衡各部分。通过从已知的 NP-难 3-正则 $α$-Balanced-Vertex-Separator 问题出发，采用多项式时间的单射归约，作者展示了在 3-正则条件下，两种平衡标准等价，从而确立了此前被忽视的这一变体问题的复杂性。

ABSTRACT

Recently a large number of graph separator problems have been proven to be extsc{NP-Hard}. Amazingly we have found that $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator, an important variant, has been overlooked. In this work ``Yet Another Graph Partitioning Problem is NP-Hard" we present the surprising result that $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator is $NP$-Hard. This is despite the fact that the constraints of our new problem are harder to satisfy than the original problem.

研究动机与目标

• 确立 $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator 问题的计算复杂性，该问题为一种图划分变体，其平衡性由各部分中顶点与边的总和定义。
• 证明尽管该问题的约束比标准 $α$-Balanced-Vertex-Separator 问题更严格，其仍为 NP-难。
• 提供从已知 NP-难的 3-正则 $α$-Balanced-Vertex-Separator 问题到新 $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator 问题的正式归约。
• 证明在 3-正则图约束下，基于子图的变体中的平衡条件与标准的顶点大小平衡条件等价。

提出的方法

• 构建一个改进的局部替换部件（图 1b），将任意 3-正则图转换为所有顶点割集均可限制在出口节点上的 3-正则图。
• 采用从 3-正则 $α$-Balanced-Vertex-Separator 问题到 $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator 问题的多项式时间单射归约。
• 利用图论第一定理，通过恒等式 $3V_i = 2E_i + E_i^I$ 建立 3-正则图中顶点度数、边数与边界顶点之间的关系。
• 应用引理 1，将 $E_i = \frac{3}{2}V_i - \frac{1}{2}\beta_i$ 代入子图平衡约束，将条件转化为涉及 $V_i$ 与 $\beta_i$ 的形式。
• 利用引理 2，即 $\beta_1 + \beta_2 = 3I$ 且 $I \leq \beta_i \leq 2I$，对边界顶点贡献进行有界处理，并推导出连接两种平衡标准的不等式。
• 通过证明 $α$-Subgraph-Balanced 与 $α$-Balanced 条件在 3-正则性下双向等价，即一个解的存在可推出另一个解的存在，从而完成等价性证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于顶点与边总数平衡的 $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator 问题是否具有计算困难性？
• RQ2 与标准的顶点大小平衡相比，$α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator 问题中基于子图的更严格平衡约束是否仍保持 NP-难性？
• RQ3 $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator 问题能否在多项式时间内归约到已知的 NP-难 $α$-Balanced-Vertex-Separator 问题？
• RQ4 在 3-正则图约束下，$α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator 与 $α$-Balanced-Vertex-Separator 的平衡条件是否等价？

主要发现

• 通过从 3-正则 $α$-Balanced-Vertex-Separator 问题出发的多项式时间单射归约，证明了 $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator 问题为 NP-难。
• 在子图变体中，平衡条件 $\max_i(|V_i| + |E_i|) + |I| \leq \alpha(|V| + |E|)$ 在 3-正则性下与标准条件 $\max_i(|V_i|) \leq \alpha|V|$ 等价。
• 在 3-正则图中，恒等式 $3V_i = 2E_i + E_i^I$ 成立，从而可将基于边的约束转化为以顶点为边界的表达形式。
• 边界顶点数满足 $\beta_1 + \beta_2 = 3|I|$ 且 $|I| \leq \beta_i \leq 2|I|$，这对归约中子图大小的有界处理至关重要。
• 该归约保持了决策问题的 Yes/No 答案，确认求解一个问题即可在多项式时间内求解另一个问题。
• 该结果解决了此前被忽视的图划分问题的一个变体，进一步巩固了分离问题中 NP-难性的边界。