[论文解读] Yoneda representations of flat functors and classifying toposes

Olivia Caramello|arXiv (Cornell University)|May 15, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文提出了一种名为'平坦函子的Yoneda表示'的新技术，利用索引范畴理论，以在范畴${\bf Sh}(\mathcal{C},J)$形式的拓扑所分类的理论的模型，来刻画由预层拓扑$[\mathcal{C}^{\textrm{op}},{\bf Set}]$所分类的理论的模型。其主要贡献在于通过同态对象的满射族，对$J$-同质模型进行了刻画，从而在分类拓扑与平坦函子之间建立起一种莫里塔理论的桥梁。

ABSTRACT

In this paper, we first introduce a technique that we call "Yoneda representation of flat functors", based on ideas from indexed category theory; then we provide applications of this technique to the theory of classifying toposes. Specifically, we obtain results characterizing the models of a theory classified by a topos of the form Sh(C,J) in terms of the models of a theory classified by the topos [C^op, Set].

研究动机与目标

• 开发一种新方法——平坦函子的Yoneda表示——利用索引范畴理论分析分类拓扑中的模型。
• 以预层拓扑$[\mathcal{C}^{\textrm{op}},{\bf Set}]$所分类的理论的模型来刻画由层拓扑${\bf Sh}(\mathcal{C},J)$所分类的理论的模型。
• 通过Yoneda嵌入和索引同态函子，建立平坦函子与拓扑中内部图示之间的联系。
• 定义并分析${\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})$中的$J$-同质模型，作为刻画层拓扑中模型的工具。

提出的方法

• 利用局部小且完备的拓扑$\mathcal{E}$中$[\mathcal{C},\mathcal{E}]$与$[\mathbb{C},\mathcal{E}]$之间的等价性，其中$\mathbb{C}$是$\mathcal{C}$在$\mathcal{E}$中的内部化。
• 应用$\mathcal{E}$-索引Yoneda函子$\mathbb{Y}: \mathbb{C} \to \underline{[\mathbb{C}^{\textrm{op}}, \mathcal{E}]}$，通过$\mathcal{E}$中的同态对象来表示平坦函子。
• 构建$\mathcal{E}$-索引同态函子$Hom_{[\mathcal{C},\mathcal{E}]}^{\mathcal{E}}(F,G)$，其将每对函子$F,G$映射到$\mathcal{E}$中的一个对象，以表示在拉回后的自然变换。
• 利用一个预层类型理论$\mathbb{T}$与$\mathcal{C}^{\textrm{op}}$上平坦函子理论之间的莫里塔等价性，其中$\mathcal{C} = \textrm{f.p.}\,\mathbb{T}\textrm{-mod}({\bf Set})$，将结构传递到$\mathcal{E}$-模型。
• 通过要求对每个余筛$S \in J(c)$，映射族$Hom_{{\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})}^{\mathcal{E}}(\gamma^*_{\mathcal{E}}(i(f)), M)$在$\mathcal{E}$中是满射，来定义${\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})$中的$J$-同质模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在索引范畴框架下，如何通过Yoneda嵌入来表示范畴$\mathcal{C}$上的平坦函子？
• RQ2 层拓扑${\bf Sh}(\mathcal{C},J)$中的模型与预层拓扑$[\mathcal{C}^{\textrm{op}}, {\bf Set}]$中的模型之间存在何种关系？
• RQ3 如何在拓扑$\mathcal{E}$中通过索引同态对象来内化并刻画平坦性？
• RQ4 在${\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})$中的模型$M$需满足何种条件，才能由$\mathcal{C}$上的平坦函子导出？
• RQ5 $J$-同质模型在分类拓扑与莫里塔等价的语境中具有何种意义？

主要发现

• 平坦函子$F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}$的Yoneda表示为$F \cong Hom_{[\mathcal{C}^{\textrm{op}}, \mathcal{E}]}^{\mathcal{E}}(\overline{Y}(-), F)$，其中$\overline{Y}$是索引设定下的Yoneda嵌入。
• 对于预层类型的理论$\mathbb{T}$，范畴$\mathcal{C} = \textrm{f.p.}\,\mathbb{T}\textrm{-mod}({\bf Set})$是柯西完备的，因此可由其有限表示模型重构。
• 与平坦函子$F \in \mathbf{Flat}(\mathcal{C}^{\textrm{op}}, \mathcal{E})$对应的模型$M_F \in \mathbb{T}\textrm{-mod}(\mathcal{E})$满足$F \circ \tau \cong Hom_{{\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})}^{\mathcal{E}}(\gamma^*_{\mathcal{E}}(i(-)), M_F)$，从而建立自然同构。
• 在${\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})$中，模型$M$是$J$-同质的，当且仅当对每个余筛$S \in J(c)$，映射族$Hom_{{\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})}^{\mathcal{E}}(\gamma^*_{\mathcal{E}}(i(f)), M)$在$\mathcal{E}$中是满射。
• 当$J$为原子拓扑时，$J$-同质性简化为要求对$\mathcal{C}$中的每个箭头$f: c \to d$，$Hom_{{\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})}^{\mathcal{E}}(\gamma^*_{\mathcal{E}}(i(f)), M)$是满射。