[论文解读] Zero-one laws for eventually always hitting points in mixing systems

Dmitry Kleinbock, Ioannis Konstantoulas+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文研究了在混合动力系统中收缩目标系统内的最终始终命中点集合，重点关注具有近乎完美相互独立性的系统，如伯努利方案和高斯映射。它建立了决定此类点集合为零测集或余零测集的收缩速率的紧密条件，为遍历性特征提供了精确的临界行为。

ABSTRACT

In this work we study the set of eventually always hitting points in shrinking target systems. These are points whose long orbit segments eventually hit the corresponding shrinking targets for all future times. We focus our attention on systems where translates of targets exhibit near perfect mutual independence, such as Bernoulli schemes and the Gauss map. For such systems, we present tight conditions on the shrinking rate of the targets so that the set of eventually always hitting points is a null set (or co-null set respectively).

研究动机与目标

• 分析在混合条件下，轨道段在收缩目标系统中的渐近行为。
• 确定最终始终命中点集合成为零测集或余零测集的条件。
• 聚焦于具有近乎完美相互独立性的系统，如伯努利移位和高斯映射。
• 确定区分命中集零测与余零行为的临界目标收缩速率。

提出的方法

• 分析具有强混合性质的系统中轨道对收缩目标的长期遍历性。
• 应用概率技术以建模平移后目标之间的相互独立性。
• 使用测度论论证评估最终始终命中点的普遍性。
• 通过将目标收缩速率与混合衰减速率比较，建立精确的临界阈值。
• 运用零一律对命中集的测度理论大小进行分类。
• 利用关于伯努利方案和高斯映射的已知结果，推导出一般性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有近似独立目标的混合系统中，目标的收缩速率在何种情况下使最终始终命中点集合成为零测集？
• RQ2 在何种情况下该集合成为余零测集？
• RQ3 目标系统结构——特别是其独立性特征——如何影响最终始终命中集的测度？
• RQ4 在目标大小衰减方面，何种精确的阈值行为可区分零测与余零结果？
• RQ5 伯努利方案和高斯映射的结果在多大程度上可推广至其他混合系统？

主要发现

• 对于伯努利方案和高斯映射等系统，当目标收缩速率足够快时，最终始终命中点集合为零测集。
• 相反，当收缩速率足够慢时，该集合为余零测集，表明几乎所有点最终都会始终命中目标。
• 零测与余零行为之间的临界点由目标收缩速率相对于系统混合特性的快慢精确决定。
• 结果表明，在具有强近似独立性的系统中，最终始终命中集的测度满足零一律。
• 分析确认临界收缩速率由系统相关性衰减速率决定。
• 研究结果完整刻画了此类动力系统中最终一致命中行为的测度论普遍性。