[论文解读] Zeros and factorizations of quaternion polynomials: the algorithmic approach

Vladimir Bolotnikov|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出了一种算法框架，用于通过表征左零点和右零点、球面对因子以及不可约因子来分析四元数多项式的零点结构。该框架引入了计算这些分量、构造具有指定零点结构的多项式以及计算最小公倍式的算法，为非交换四元数上的因式分解提供了系统性方法。

ABSTRACT

It is known that polynomials over quaternions may have spherical zeros and isolated left and right zeros. These zeros along with appropriately defined multiplicities form the zero structure of a polynomial. In this paper, we equivalently describe the zero structure of a polynomial in terms of its left and right spherical divisors as well as in terms of left and right indecomposable divisors. Several algorithms are proposed to find left/right zeros and left/right spherical divisors of a quaternion polynomial, to construct a polynomial with prescribed zero structure and more generally, to construct the least left/right common multiple of given polynomials. Similar questions are briefly discussed in the setting of quaternion formal power series.

研究动机与目标

• 开发一种系统性的算法方法，以确定四元数多项式的零点结构，由于非交换性，其复杂性高于交换域上的情况。
• 通过左/右球面对因子和左/右不可约因子来表征零点结构，为因式分解提供新的代数框架。
• 实现具有指定零点结构（包括孤立零点和球面对零点及其重数）的四元数多项式的构造。
• 提供计算给定四元数多项式最小公左/右倍式的算法，将经典 LCM 概念扩展至非交换设置。
• 将该框架扩展至四元数上的形式幂级数，探索其类似结构和算法性质。

提出的方法

• 基于零点的共轭类定义左/右球面对因子，其中球面对因子对应于一个包含所有四元数共轭的 2-球面，且这些共轭均为多项式的零点。
• 对一个共轭类 $ V $，使用特征多项式 $ \mathcal{X}_V(z) = z^2 - 2z \cdot \operatorname{Re}(\alpha) + |\alpha|^2 $，其生成所有在 $ V $ 上消失的多项式所构成的双边理想。
• 开发一个算法（算法 3.4），通过将问题约化为实系数复多项式求根，来计算左/右零点。
• 设计一个递归算法，通过迭代应用涉及共轭和类似 Möbius 映射的变换，构建具有给定零点结构的多项式。
• 利用恒等式 $ \phi_k \boldsymbol{\rho}_{\alpha'_k} {\bf k}_{\beta_k} = {\bf k}_{\delta_k} \phi_{k+1} $，在共轭零点链中传播因式分解。
• 通过左/右理想交集实现最小公倍式（lcm）构造：$ \operatorname{lrcm}(f,g) $ 是 $ \langle f \rangle_r \cap \langle g \rangle_r $ 的首一生成元，左 lcm 的定义类似。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用左/右球面对因子，对四元数多项式的零点结构进行算法表征？
• RQ2 计算给定四元数多项式的所有左/右零点的算法过程是什么？
• RQ3 如何构造一个具有指定孤立零点和球面对零点及其重数的四元数多项式？
• RQ4 计算两个或多个四元数多项式最小公左/右倍式的算法方法是什么？
• RQ5 四元数多项式的结构和算法性质如何扩展至四元数上的形式幂级数？

主要发现

• 四元数多项式的零点结构完全由其左/右球面对因子决定，这些因子对应于零点的共轭类。
• 通过基于共轭链和类似 Möbius 变换的递归因式分解，可以算法化地构造具有指定零点结构的多项式。
• 两个四元数多项式的最小公右倍式是其右理想交集的首一生成元，且文中提供了计算该倍式的算法。
• 寻找左/右零点的算法约化为通过复数根求解实系数多项式，本文引入了一种新方法（算法 3.4）。
• 该框架可扩展至形式幂级数，其中类似的结构和算法性质依然成立，表明其具有更广泛的应用潜力。
• 本文证明了任一首一四元数多项式均可因式分解为线性项 $ (z - \gamma_k) $ 的乘积，且其零点集包含于 $ \gamma_k $ 的共轭类的并集中。