[论文解读] 0-cycles on singular schemes and class field theory

Amalendu Krishna|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文在有限域上的射影概族的0-循环的查群与该概族正则部分的阿贝尔化基本群之间建立了对偶同构，将经典类域论推广至具有孤立奇点的奇异概族。关键结果是同构 $\theta^0_X: A_0(X) \xrightarrow{\sim} \pi^{{\rm ab}}_1(X_{\rm reg})^0$，该结果导出布洛赫-奎伦公式，并为凯尔茨-斋藤关于无特征假设下的曲面结果提供了简洁证明。

ABSTRACT

We show that the Chow group of 0-cycles on a singular projective scheme $X$ over a finite field describes the abelian extensions of its function field which are unramified over the regular locus of $X$. As a consequence, we obtain the Bloch-Quillen formula for the Chow group of 0-cycles on such schemes. We deduce simple proofs of results of Kerz-Saito for a class of surfaces without any assumption on ${ m char}(k)$.

研究动机与目标

• 将几何类域论从光滑概族推广至有限域上的奇异射影概族。
• 通过0-循环的查群描述函数域在正则部分上无挠的阿贝尔扩张。
• 为具有孤立奇点的奇异概族建立0-循环的布洛赫-奎伦公式。
• 为凯尔茨-斋藤关于曲面上0-循环与模的成果提供一种新且简化的证明，且适用于所有特征。
• 阐明在余维数一意义下正则性条件对于构造互惠映射的必要性。

提出的方法

• 利用正则开子集的类域论构造映射 $\theta_X: {\rm CH}_0(X) \to \pi^{{\rm ab}}_1(X_{\rm reg})$。
• 通过维数归纳法与Lefschetz型定理，证明当概族具有孤立奇点时，映射 $\theta^0_X: A_0(X) \to \pi^{{\rm ab}}_1(X_{\rm reg})^0$ 为同构。
• 利用Kato-Saito推广的阿代尔类群，将 $\pi^{{\rm ab}}_1(U)$ 与正则开子集 $U \subset X$ 的动机上同调联系起来。
• 应用Bertini型定理，通过取一般超平面截面将一般情形约化为曲面情形。
• 建立 $H^d(X, \mathcal{K}^M_d,X)$ 与 $H^d(X, \mathcal{K}_d,X)$ 之间的同构，并通过次数映射将其与 ${\rm CH}_0(X)$ 关联。
• 利用Zariski-Nagata定理，证明补集余维数 $\geq 2$ 的开子集的基本群同构，从而实现归纳约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将光滑概族中0-循环与阿贝尔化基本群之间的互惠同构关系推广至奇异射影概族？
• RQ2 存在互惠映射 $\theta^0_X: A_0(X) \to \pi^{{\rm ab}}_1(X_{\rm reg})^0$ 的必要且充分条件是什么？
• RQ3 0-循环的布洛赫-奎伦公式是否在具有孤立奇点的奇异概族上成立？
• RQ4 凯尔茨-斋藤关于曲面上0-循环与模的结果能否在不设特征限制下更简洁地重新证明？
• RQ5 为何在余维数一意义下正则性假设对互惠映射的构造是本质性的？

主要发现

• 当 $X$ 仅有孤立奇点且在余维数一意义下正则时，映射 $\theta^0_X: A_0(X) \to \pi^{{\rm ab}}_1(X_{\rm reg})^0$ 是有限群的同构。
• 此类概族上成立布洛赫-奎伦公式：${\rm CH}_0(X) \xrightarrow{\sim} H^d(X, \mathcal{K}^M_d,X) \xrightarrow{\sim} H^d(X, \mathcal{K}_d,X)$。
• 推论1.3表明：若 $\overline{X}_{\rm reg}$ 是单连通的，则 ${\rm CH}_0(X) \cong \mathbb{Z}$。
• 此类概族上阿贝利安映射 $AJ_X: A_0(X) \to {\rm Alb}_X(k)$ 是满射。
• 定理1.5（凯尔茨-斋藤）的证明被简化并推广至所有特征，不再需要 $\text{char}(k) \neq 2$ 的条件。
• 余维数一正则性假设是必要的；反例表明若无此假设，互惠映射将不成立。