[论文解读] (1+1)-dimensional formalism and quasi-local conservation equations

Jong Hyuk Yoon|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文利用纤维丛几何对3+1维广义相对论进行(1+1)维约化，推导出能量、线动量和角动量的精确准局部守恒律，其形式为不变的二维曲面积分。这些守恒律在null无穷远处退化为Bondi型通量，并在准局部视界处与Price-Thorne的拉伸视界方程一致，且在比完全Killing对称性更弱的条件下，涌现出Carter第四常数的准局部类比。

ABSTRACT

A set of exact quasi-local conservation equations is obtained in the (1+1)-dimensional description of the Einstein's equations of (3+1)-dimensional spacetimes. These equations are interpreted as quasi-local energy, linear momentum, and angular momentum conservation equations. In the asymptotic region of asymptotically flat spacetimes, it is shown that these quasi-local conservation equations reduce to the conservation equations of Bondi energy, linear momentum, and angular momentum, respectively. When restricted to the quasi-local horizon of a generic spacetime, which is defined without referring to the infinity, the quasi-local conservation equations coincide with the conservation equations on the stretched horizon studied by Price and Thorne. All of these quasi-local quantities are expressed as invariant two-surface integrals, and geometrical interpretations in terms of the area of a given two-surface and a pair of null vector fields orthogonal to that surface are given.

研究动机与目标

• 使用纤维丛结构，以(u,v)为坐标、(y^a)为纤维坐标，发展3+1D爱因斯坦引力的(1+1)维形式化。
• 推导出在紧致二维曲面上定义、几何不变的准局部能量、动量和角动量的精确守恒方程。
• 证明这些准局部守恒方程在渐近平直时空的未来null无穷远处退化为标准的Bondi守恒律。
• 证明在一般动力学时空的准局部视界处，其守恒方程与Price和Thorne在拉伸视界上的守恒律等价。
• 识别出Carter第四常数的准局部类比，其存在条件弱于完整的Killing对称性。

提出的方法

• 利用含null坐标(u,v)、纤维坐标(y^a)及联络1-形式(A_±^a)的度规，将3+1D度规分解为(1+1)基空间与2D纤维。
• 引入与纤维正交的水平向量场(ĥ∂₊, ĥ∂₋)，沿ĥ∂₋方向具有仿射参数v，从而定义一个null超曲面。
• 通过涉及面积元e^σ与满足det ρ_ab = 1的共形度量ρ_ab的不变二维曲面积分，定义准局部量。
• 通过分析以v为时间的(1+1)哈密顿形式，推导守恒方程，得到紧致2-曲面上的积分微分方程。
• 沿2-曲面上的向量场ξ^a应用李导数，推导通量方程，使用协变导数与剪切张量。
• 识别出一个新准局部不变量，类比于Carter的第四常数，其存在条件为∂₊A₊^a = 0，无需完整Killing场的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在3+1维广义相对论的(1+1)维约化中推导出能量、动量和角动量的准局部守恒律？
• RQ2 在渐近平直时空的未来null无穷远处，这些准局部守恒律是否退化为标准的Bondi通量？
• RQ3 它们是否能重现Price和Thorne为一般动力学黑洞拉伸视界所提出的守恒方程？
• RQ4 从null几何与曲面不变量的角度，准局部量的几何与物理意义是什么？
• RQ5 Carter第四常数的准局部类比是否存在？其存在的条件是否弱于完整的Killing对称性？

主要发现

• 准局部能量、动量和角动量以包含面积元e^σ与共形度量ρ_ab的不变二维曲面积分形式表达。
• 在null无穷远处，所推导的准局部守恒律精确重现了Bondi能量、动量与角动量通量。
• 在准局部视界处，守恒方程与Price和Thorne的拉伸视界方程一致，验证了该形式化在动力学背景下的有效性。
• 该形式化导出一个新准局部不变量，类比于Carter的第四常数，其存在条件为∂₊A₊^a = 0，该条件弱于要求两个对易Killing向量场。
• 剪切张量σ_Hab与膨胀θ_H自然出现在通量方程中，后者控制曲面几何的时间演化。
• 推导过程验证了同一通量的两种不同表达式等价，从而证实了(1+1)哈密顿方法的一致性。