[论文解读] $1/2$-conjectures on the domination game and claw-free graphs

Csilla Bujtás, Vesna Iršič+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用 3

一句话总结

本文研究了 Rall 的 1/2-猜想在控制游戏中的应用，针对最小度至少为 2 的图提出了一个加强版本。通过势函数方法与对无爪图和立方图的结构分析，作者证明了当 δ(G) ≥ 2 时，无爪图有 γg(G) ≤ ⌊11/20 n(G)⌋，并验证了该猜想在无爪立方图与线图上的成立。研究结果得到了计算实验与极值例子的支持。

ABSTRACT

Let $\gamma_g(G)$ be the game domination number of a graph $G$. Rall conjectured that if $G$ is a traceable graph, then $\gamma_g(G) \le \left\lceil \frac{1}{2}n(G) ight ceil$. Our main result verifies the conjecture over the class of line graphs. Moreover, in this paper we put forward the conjecture that if $\delta(G) \geq 2$, then $\gamma_g(G) \leq \left\lceil \frac{1}{2}n(G) ight ceil$. We show that both conjectures hold true for claw-free cubic graphs. We further prove the upper bound $\gamma_g(G) \le \left\lceil \frac{11}{20} \, n(G) ight ceil$ over the class of claw-free graphs of minimum degree at least $2$. Computer experiments supporting the new conjecture and sharpness examples are also presented.

研究动机与目标

• 验证 Rall 的 1/2-猜想——即 γg(G) ≤ ⌊1/2 n(G)⌋——在可追踪图中，特别是在线图类中的成立性。
• 提出并研究一个更强的猜想：对所有满足 δ(G) ≥ 2 的图，有 γg(G) ≤ ⌊1/2 n(G)⌋。
• 为最小度至少为 2 的无爪图建立上界 γg(G) ≤ ⌊11/20 n(G)⌋。
• 提供计算与结构证据，支持猜想的紧致性与正确性。
• 在发现反例时，探索猜想的弱化形式，包括绝对常数界与渐近界。

提出的方法

• 引入基于残余图 GD 中顶点着色（白色、蓝色、红色）的势函数 f(GD)，以追踪控制游戏中每一步的进展。
• 使用加权势函数，其中白色顶点值为 22，蓝色为 9，红色为 0，以限制游戏总长度。
• 基于 GD[W] 中白色顶点连通分量（路径、环）的结构，进行情形分析，以限制每步操作导致的势值减少量。
• 应用延续原理与类似放电的论证方法，确保每对操作（先由支配者，后由应答者）使势值至少减少 80 单位。
• 分析残余图中 B = ∅ 且 GD[W] 由环或路径构成时的游戏动态，以推导不同操作序列下的界。
• 利用计算机辅助验证小图（≤10 个顶点）的情况，并构造极值例子以检验猜想的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rall 的 1/2-猜想是否在线图中成立，而线图是无爪图的一个子类？
• RQ2 加强后的猜想 γg(G) ≤ ⌊1/2 n(G)⌋ 是否对所有满足 δ(G) ≥ 2 的图都成立？
• RQ3 能否为最小度至少为 2 的无爪图建立更紧的上界，且该最优常数是多少？
• RQ4 是否存在达到 1/2-猜想等号的极值图？这些图具有何种结构特征？
• RQ5 若该猜想不成立，其可能的弱化形式是什么，且其蕴含何种含义？

主要发现

• 1/2-猜想在线图中得到验证，即对所有线图均有 γg(G) ≤ ⌊1/2 n(G)⌋ 成立。
• 1/2-猜想与加强后的 δ ≥ 2 猜想均被证明对无爪立方图成立。
• 对所有最小度至少为 2 的无爪图，建立了上界 γg(G) ≤ ⌊11/20 n(G)⌋，优于原有的 3/5 界。
• 该上界 γg(G) ≤ ⌊11/20 n(G)⌋ 是紧致的，通过极值例子（包括 9 个顶点的图满足 γg(G) = 5）得以证明。
• 计算机实验确认了加强猜想在所有连通图（≤10 个顶点）中成立，并支持其在更大图中的有效性。
• 当 n ≥ 9 为奇数且直径 ≥3 时，存在等号成立的情形，包括两个在 24 和 30 个顶点的孤立反例，满足 γg(G) = n(G)/2。