[论文解读] 1.85 Approximation for Min-Power Strong Connectivity

Gruiă Cälinescu|arXiv (Cornell University)|May 15, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文针对有向图中的最小功率强连通性问题提出了一种1.85-近似算法，优于此前的2-近似比。该方法结合了Robins-Zelikovsky在斯坦纳树工作中的技术与Caragiannis等人在广播功率分配中的方法，通过分数星覆盖和改进的线性规划松弛，实现了对整数规划间隙和算法性能的更紧界限。

ABSTRACT

Given a directed simple graph G=(V,E) and a nonnegative-valued cost function the power of a vertex u in a directed spanning subgraph H is given by the maximum cost of an arcs of H exiting u. The power of H is the sum of the power of its vertices. Power Assignment seeks to minimize the power of H while H satisfies some connectivity constraint. In this paper, we assume E is bidirected (for every directed edge e in E, the opposite edge exists and has the same cost), while H is required to be strongly connected. This is the original power assignment problem introduced by Chen and Huang in 1989, who proved that bidirected minimum spanning tree has approximation ratio at most 2 (this is tight). In Approx 2010, we introduced a Greedy approximation algorithm and claimed a ratio of 1.992. Here we improve the analysis to 1.85. The proof also shows that a natural linear programming relaxation, introduced by us in 2012, has the same 1.85 integrality gap.

研究动机与目标

• 将最小功率强连通性问题的近似比改进至长期存在的2-近似以上。
• 通过受斯坦纳树和广播功率分配启发的分数覆盖技术，对贪心算法进行更紧的分析。
• 证明该问题的自然线性规划松弛的整数规划间隙至多为1.85。
• 通过在分析中用分数覆盖替代整数覆盖，简化并强化先前的近似方法。

提出的方法

• 该算法通过贪心选择星（高度为1的有向树）来覆盖生成树的边，以最小化总功率消耗。
• 利用线性规划松弛（LP2）的最优解，构建生成树边的分数覆盖，根据星对边覆盖的贡献分配权重。
• 分析利用一个关键引理：对于任意一组星和生成树，存在一种分数星分配方式，使得总功率至多为(1/2)opt*，且未覆盖树边的覆盖度至少为c(T) - f(B)。
• 通过割约束和树划分上的不相交星集合，限制星对单个边覆盖的贡献，确保每条未覆盖边均被总权重至少为1的星覆盖。
• 该方法整合了Robins-Zelikovsky（2000）在斯坦纳树中的技术与Caragiannis等人（2007）在广播功率分配中的方法，通过分数覆盖和基于LP的分析加以改进。
• 通过证明贪心算法的输出至多为LP最优值的1.85倍，表明LP2松弛的整数规划间隙至多为1.85。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小功率强连通性问题的近似比能否超越已知的2-近似？
• RQ2 斯坦纳树和广播功率分配中的分数覆盖技术能否被适配以加强强连通性问题中贪心算法的分析？
• RQ3 最小功率强连通性问题的自然LP松弛的真实整数规划间隙是多少？
• RQ4 能否通过使用分数星覆盖替代先前工作中复杂的整数覆盖，以简化并改进分析？

主要发现

• 本文实现了最小功率强连通性问题的1.85-近似，优于此前最优的2-近似比。
• 证明了自然LP松弛（LP2）的整数规划间隙至多为1.85，与贪心算法的近似比一致。
• 分析中用分数覆盖替代了整数覆盖，显著简化了证明，并相比先前工作得到了更紧的界。
• 1.85的界是紧的，即在关键覆盖引理中无法使用小于1/2的常数，这一点由一个极限例子证明。
• 结果表明，当使用分数星覆盖和基于LP的界分析贪心算法时，其近似比优于此前已知的结果。