[论文解读] 1-bend Upward Planar Drawings of SP-digraphs

Emilio Di Giacomo, Giuseppe Liotta+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文提出了一种线性时间算法，用于构造最大顶点度为Δ的系列-并行有向图（SP-digraphs）的1折向上平面图，且仅使用Δ种不同的倾斜角。该方法利用顶点作为十字形的接触表示，并将其转换为倾斜角优化的向上图，实现了最坏情况下的最优角分辨率π/Δ，并证明Δ种倾斜角对SP-digraphs而言是必要且充分的。

ABSTRACT

It is proved that every series-parallel digraph whose maximum vertex-degree is $Δ$ admits an upward planar drawing with at most one bend per edge such that each edge segment has one of $Δ$ distinct slopes. This is shown to be worst-case optimal in terms of the number of slopes. Furthermore, our construction gives rise to drawings with optimal angular resolution $\fracπΔ$. A variant of the proof technique is used to show that (non-directed) reduced series-parallel graphs and flat series-parallel graphs have a (non-upward) one-bend planar drawing with $\lceil\fracΔ{2} ceil$ distinct slopes if biconnected, and with $\lceil\fracΔ{2} ceil+1$ distinct slopes if connected.

研究动机与目标

• 确定SP-digraphs的1折向上平面图所需的最少不同倾斜角数量。
• 为SP-digraphs及其相关无向图类建立1折向上平面图倾斜角数的紧致界。
• 开发一种线性时间算法，实现SP-digraphs向上平面图的最优角分辨率与倾斜角使用。
• 将结果扩展至无向简化及平坦SP图，证明双连通图仅需⌈Δ/2⌉种倾斜角。

提出的方法

• 在良好间隔的接触表示中，将SP-digraph中的每个顶点表示为一个十字形（水平与垂直线段相交）。
• 将集合𝒮Δ = {π/2 + iπ/Δ | i = 0, ..., Δ−1}中的倾斜角分配给边段，确保每条边最多有一个折点。
• 通过使用𝒮Δ中的倾斜角将每个十字形替换为多段线图，保持向上方向与平面性。
• 利用每个十字形的安全区域特性，确保折点仅出现在互不相交的区域内，避免边交叉。
• 通过子划分处理一般SP-digraph中的传递边，之后移除子划分顶点以恢复原始结构。
• 在无向图中利用对称性与倾斜角复用，将所需倾斜角数量减少至双连通简化或平坦SP图的⌈Δ/2⌉种。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大顶点度为Δ的SP-digraphs的1折向上平面图倾斜角数是多少？
• RQ2 Δ是否为SP-digraphs的1折向上平面图的最坏情况最优倾斜角数量？
• RQ3 无向SP图的1折平面图倾斜角数能否低于已知上界3/2(Δ−1)？
• RQ4 双连通简化或平坦SP图的1折平面图所需的最少倾斜角数量是多少？
• RQ5 该倾斜角界能否扩展至SP图之外的一般部分2-树图？

主要发现

• 每个最大顶点度为Δ的SP-digraph均可构造出使用恰好Δ种不同倾斜角的1折向上平面图，且该界为最坏情况最优。
• 所构造的图实现的角分辨率至少为π/Δ，该值亦为最坏情况最优。
• 该算法时间复杂度为O(n)，适用于大规模SP-digraphs。
• 对于双连通简化或平坦SP图，1折平面图倾斜角数至多为⌈Δ/2⌉，角分辨率至少为2π/Δ。
• 对于连通简化或平坦SP图，1折平面图倾斜角数至多为⌈Δ/2⌉ + 1，角分辨率至少为2π/(Δ+1)。
• 构造了一类SP-digraphs，证明在任意1折向上平面图中Δ种倾斜角均为必要，从而验证了上界紧致性。