[论文解读] 1992 Trieste Lectures on Topological Gauge Theory and Yang-Mills Theory

G.E. Thompson|ArXiv.org|May 24, 1993

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 14

一句话总结

本文提出了在黎曼曲面上二维杨-米尔斯理论的路径积分表述，以群特征标和Casimir不变量表示了配分函数和威尔逊圈相关函数的显式表达式。通过在耦合常数趋于零时取杨-米尔斯理论极限，建立了拓扑规范场论的正则化方法，从而能够通过量子场论方法进行具体计算，得出拓扑不变量。

ABSTRACT

In these lecture notes we explain a connection between Yang-Mills theory on arbitrary Riemann surfaces and two types of topological field theory, the so called $BF$ and cohomological theories. The quantum Yang-Mills theory is solved exactly using path integral techniques. Explicit expressions, in terms of group representation theory, are obtained for the partition function and various correlation functions. In a particular limit the Yang-Mills theory devolves to the topological models and the previously determined correlation functions give topological information about the moduli spaces of flat connections. In particular, the partition function yields the volume of the moduli space for which an explicit expression is derived. These notes are self contained, with a basic introduction to the various ideas underlying the topological field theories. This includes some relatively new work on handling problems that arise in the presence of reducible connections which in turn forms the bridge between the various models under consideration. These notes are identical to those made available to participants of the 1992 summer school in Trieste, except for one or two additions added circa January 1993.

研究动机与目标

• 开发一种适用于任意亏格黎曼曲面的二维杨-米尔斯理论的路径积分方法，以计算拓扑不变量。
• 通过取耦合常数 e² → 0 时的杨-米尔斯理论极限，对拓扑规范场论进行正则化，从而实现具体计算。
• 推导出在任意亏格曲面上，对可缩与不可缩威尔逊圈的配分函数和相关函数的显式表达式。
• 通过薛定谔方程和特征标，将盘上的量子杨-米尔斯理论与规范群 G 上的拉普拉斯算子联系起来。
• 通过辅助超场，提供对全纯性特征标路径积分表示的场论推导。

提出的方法

• 利用黎曼曲面上杨-米尔斯理论的路径积分表述，通过规范不变变量和全纯性迹来计算配分函数和威尔逊圈相关函数。
• 该方法依赖于盘上的薛定谔方程，其中时间演化参数 t 与反耦合常数 ε/2 相关，波函数按规范群 G 的特征标展开。
• 群 G 上的拉普拉斯算子被识别为二次 Casimir 不变量 c₂(λ)，其本征函数为特征标 χλ(g)，从而通过 exp(−tc₂(λ)) 实现时间（或耦合）的指数衰减。
• 通过辅助 Grassmann 番道 η, η̄ 推导出全纯性特征标的路径积分，其中包含与 ρa(t)(η̄λaη)(t) 成比例的项，以及涉及 ε 的正则化项。
• 路径积分的解被证明满足薛定谔方程，形式为 Ψλ(ρ,ε) = χλ(Pexp∮ρ) exp(−ε/2 c₂(λ))，初始条件在 ε=0 时给出。
• 利用非阿贝尔斯托克斯定理将曲面全息与曲率积分联系起来，并通过路径有序指数的共轭推导出规范不变版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在任意亏格的黎曼曲面上，显式计算二维杨-米尔斯理论的配分函数和威尔逊圈相关函数？
• RQ2 当耦合常数趋于零时，杨-米尔斯理论在拓扑规范场论正则化中起什么作用？
• RQ3 盘上的薛定谔方程的解如何与规范群 G 的特征标和 Casimir 不变量相关联？
• RQ4 全息特征标的路径积分表示如何通过辅助费米子场表示，且其如何产生正确的时间演化？
• RQ5 在规范变换存在的情况下，规范不变的非阿贝尔斯托克斯定理如何将曲面全息与曲率积分联系起来？

主要发现

• 在任意亏格的黎曼曲面上，配分函数和威尔逊圈相关函数以群特征标和 Casimir 不变量的形式导出，但整体归一化常数仍未知。
• 全息特征标的路径积分解为 Ψλ(ρ,ε) = χλ(Pexp∮ρ) exp(−ε/2 c₂(λ))，满足时间 t = ε/2 的薛定谔方程。
• 盘上的波函数 Ψ(t,g) 表示为不可约表示的和：Ψ(t,g) = ∑λ cλ χλ(g) exp(−t c₂(λ))，其中 t = ε/2。
• 群 G 上的拉普拉斯算子作用于特征标时满足 ΔG χλ(g) = c₂(λ) χλ(g)，薛定谔方程简化为系数 aλ(t) 的方程 ∂t aλ + c₂(λ)aλ = 0。
• 推导出规范不变的非阿贝尔斯托克斯定理，表明 TrPexp(∮γ A) = TrPexp(∫Γ FA^U)，其中 FA^U 为规范变换后的曲率。
• 该方法提供了特征标公式的场论推导，通过 e² → 0 的极限，将量子杨-米尔斯理论与拓扑不变量联系起来。