[论文解读] 1d lattice models for the boundary of 2d "Majorana" fermion SPTs: Kramers-Wannier duality as an exact $Z_2$ symmetry

Richard A. Jones, Max A. Metlitski|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2019

Topological Materials and Phenomena被引用 13

一句话总结

该论文构建了一个具有 $Z_2 \times Z_2^f$ 对称性的二维费米子拓扑序相（SPT phase）边界的一维晶格模型，其中由于局域约束的存在，希尔伯特空间不具有局域张量积结构。该工作推导出一个三体项哈密顿量，实现了精确的 $Z_2$ 克莱默斯-瓦纳对偶对称性，并通过精确对角化和DMRG方法提供了强有力的数值证据，表明该模型实现了一个伊辛共形场论（Ising conformal field theory），证实了预期的无能隙边界态。

ABSTRACT

It is well known that symmetry protected topological (SPT) phases host non-trivial boundaries that cannot be mimicked in a lower-dimensional system with a conventional realization of symmetry. However, for SPT phases of bosons (fermions) within the cohomology (supercohomology) classification the boundary can be recreated without the bulk at the cost of a non-onsite symmetry action. This raises the question: can one also mimic the boundaries of SPT phases which lie outside the (super)cohomology classification? In this paper, we study this question in the context of 2+1D fermion SPTs. We focus on the root SPT phase for the symmetry group $G =Z_2 \ imes Z^f_2$. Starting with an exactly solvable model for the bulk of this phase constructed by Tarantino and Fidkowski, we derive an effective 1d lattice model for the boundary. Crucially, the Hilbert space of this 1d model does not have a local tensor product structure, but rather is obtained by placing a local constraint on a local tensor product Hilbert space. We derive the action of the $Z_2$ symmetry on this Hilbert space and find a simple 3-site Hamiltonian that respects this symmetry. We study this Hamiltonian numerically using exact diagonalization and DMRG and find strong evidence that it realizes an Ising CFT where the $Z_2$ symmetry acts as the Kramers-Wannier duality; this is the expected stable gapless boundary state of the present SPT. A simple modification of our construction realizes the boundary of the 2+1D topological superconductor protected by time-reversal symmetry ${\\cal T}$ with ${\\cal T}^2 = (-1)^{\\cal F}$.

研究动机与目标

• 构建一个1D晶格模型，以捕捉超同调分类之外的二维费米子SPT相边界，特别针对 $G = Z_2 \times Z_2^f$ 的情况。
• 证明即使在对称性作用非局域（non-onsite）且希尔伯特空间缺乏局域张量积结构的情况下，边界仍可不依赖体相而实现。
• 展示 $Z_2$ 对称性在有效1D模型中作为精确的克莱默斯-瓦纳对偶对称性发挥作用。
• 提供数值证据，表明该模型实现了一个伊辛CFT，且 $Z_2$ 对称性作为对偶性作用，与SPT相预期的稳定无能隙边界一致。

提出的方法

• 通过塔拉蒂诺与菲德科夫斯基的精确可解体相模型，推导出二维费米子SPT相边界的有效1D晶格模型。
• 通过在张量积空间上施加局域约束来构建希尔伯特空间，从而破坏标准的局域结构。
• 在约束希尔伯特空间上定义 $Z_2$ 对称性的作用，并推导出在该对称性下不变的三体项哈密顿量。
• 通过精确对角化和DMRG模拟探测低能谱和共形场论性质。
• 从克莱默斯-瓦纳对偶的角度分析对称性作用，并在连续极限下将边缘模式映射为马约拉纳费米子。
• 将该构造推广至时间反演对称性满足 $\mathcal{T}^2 = (-1)^F$ 的二维拓扑超导体。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖体相的情况下，在1D中实现超同调分类之外的二维费米子SPT相边界？
• RQ2 此类边界的希尔伯特空间结构如何？与传统的张量积希尔伯特空间有何不同？
• RQ3 1D晶格模型能否实现作为对称性的精确克莱默斯-瓦纳对偶性？其是否支持无能隙的伊辛CFT？
• RQ4 非局域的 $Z_2$ 对称性作用在有效1D模型中如何体现？其在稳定临界相中起什么作用？

主要发现

• 该1D有效模型构建于具有局域约束的希尔伯特空间之上，破坏了标准张量积结构，这对于捕捉异常边界至关重要。
• $Z_2$ 对称性在1D模型中作为精确的克莱默斯-瓦纳对偶性发挥作用，且该对偶对称性由三体项哈密顿量所保持。
• 通过精确对角化和DMRG的数值模拟显示，低能谱与伊辛CFT一致，证实了无能隙临界行为。
• 该模型实现了一个临界点，其中质量项（在 $Z_2$ 下为奇宇称）被禁止，从而稳定了自对偶的伊辛点。
• 该构造可推广至其他具有 $G = G_b \times Z_2^f$ 的二维费米子SPT相，以及时间反演对称性满足 $\mathcal{T}^2 = (-1)^F$ 的 $p+ip$ 超导体。