[论文解读] 1D Schrödinger operator with periodic plus compactly supported potentials

Evgeny Korotyaev|ArXiv.org|Apr 18, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文研究了具有周期势加紧支撑扰动的一维薛定谔算符的谱性质。建立了特征值和共振态的渐近分布，证明当总势积分等于零时，对于大能隙，每个非简并能隙中要么包含两个束缚态和零个反束缚态，要么包含零个束缚态和两个反束缚态，并构造了势函数以实现在能隙中任意指定的束缚态与反束缚态序列。

ABSTRACT

We consider the 1D Schrödinger operator $Hy=-y''+(p+q)y$ with a periodic potential $p$ plus compactly supported potential $q$ on the real line. The spectrum of $H$ consists of an absolutely continuous part plus a finite number of simple eigenvalues in each spectral gap $\g_n e \es, n\geq 0$, where $\g_0$ is unbounded gap. We prove the following results: 1) we determine the distribution of resonances in the disk with large radius, 2) a forbidden domain for the resonances is specified, 3) the asymptotics of eigenvalues and antibound states are determined, 4) if $q_0=\int_\R qdx=0$, then roughly speaking in each nondegenerate gap $\g_n$ for $n$ large enough there are two eigenvalues and zero antibound state or zero eigenvalues and two antibound states, 5) if $H$ has infinitely many gaps in the continuous spectrum, then for any sequence $\s=(\s)_1^\iy, \s_n\in \{0,2\}$, there exists a compactly supported potential $q$ such that $H$ has $\s_n$ bound states and $2-\s_n$ antibound states in each gap $\g_n$ for $n$ large enough. 6) For any $q$ (with $q_0=0$), $\s=(\s_n)_{1}^\iy$, where $\s_n\in \{0,2\}$ and for any sequence $\d=(\d_n)_1^\iy\in \ell^2, \d_n>0$ there exists a potential $p\in L^2(0,1)$ such that each gap length $|\g_n|=\d_n, n\ge 1$ and $H$ has exactly $\s_n$ eigenvalues and $2-\s_n$ antibound states in each gap $\g_n e \es$ for $n$ large enough.

研究动机与目标

• 分析薛定谔算符 $ H = -y'' + (p + q)y $ 的谱结构，其中 $ p $ 是 1-周期函数，$ q $ 是紧支撑函数。
• 确定算符 $ H $ 的谱能隙中共振态与特征值的分布，特别是在高能区域。
• 建立在总势积分 $ q_0 = 0 $ 的条件下，存在紧支撑势 $ q $，使得 $ H $ 在每个能隙中实现任意指定的束缚态与反束缚态序列。
• 构造属于 $ L^2(0,1) $ 的周期势 $ p $，使其具有指定的能隙长度 $ \delta_n \in \ell^2 $，使得扰动算符 $ H $ 在每个能隙中实现给定的态计数序列。

提出的方法

• 使用李雅普诺夫函数 $ \Delta(z) = \frac{1}{2}(\varphi'(1,z) + \vartheta(1,z)) $ 和函数 $ \Omega(\lambda) = (1 - \Delta^2(\sqrt{\lambda}))^{1/2} $ 构造一个用于谱分析的二层黎曼曲面 $ \Lambda $。
• 分析亚纯函数 $ D(\lambda) = \det(I + q(H_0 - \lambda)^{-1}) $，其极点对应于 $ H $ 的特征值，并引入修正函数 $ \Xi = 2i\Omega D $ 以获得更好的渐近控制。
• 应用复分析工具，包括莱文森定理和零点的渐近计数，推导大圆盘内共振态与特征值的数量。
• 利用散射矩阵和 S-矩阵透射系数 $ 1/D $，将谱数据与势扰动 $ q $ 关联。
• 采用希尔伯特空间中势函数与 $ \ell^2 \oplus \ell^2 $ 之间的实解析同构，以控制能隙长度与相位参数。
• 构造相位参数 $ \tau_n $，并利用 $ R_n = -|\widehat{q}_n|\cos(\phi_n + \tau_n) $ 的渐近展开，以控制每个能隙中束缚态与反束缚态的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有周期势加紧支撑势的一维薛定谔算符，其共振态在复平面上大圆盘内的分布如何？
• RQ2 共振态的禁止区域是什么？它如何限制特征值与共振态的位置？
• RQ3 当 $ \int_{\mathbb{R}} q(x)dx = 0 $ 时，特征值与反束缚态在 $ H $ 的能隙中的渐近行为如何？
• RQ4 是否可以通过选择适当的紧支撑势 $ q $，使得每个能隙中实现任意指定的束缚态与反束缚态序列 $ \sigma_n \in \{0,2\} $？
• RQ5 给定一个序列 $ \delta_n \in \ell^2 $，能否构造一个属于 $ L^2(0,1) $ 的周期势 $ p $，使得 $ H_0 $ 的能隙长度满足 $ |\gamma_n| = \delta_n $，且 $ H $ 在每个能隙中实现给定的态计数序列 $ \sigma_n $？

主要发现

• 对于大的 $ r $，位于两个扇形 $ |\arg z|, |\arg z - \pi| < \delta $ 之外的圆盘 $ |\lambda| \leq r $ 中的共振态数量为 $ o(r) $，表明共振态的分布受到限制。
• 当 $ q_0 = 0 $ 时，对所有充分大的 $ n $，每个非简并谱能隙 $ \gamma_n $ 中要么包含两个特征值和零个反束缚态，要么包含零个特征值和两个反束缚态。
• 若 $ H_0 $ 有无穷多个能隙，则对任意满足 $ \sigma_n \in \{0,2\} $ 的序列 $ \sigma = (\sigma_n)_{n=1}^\infty $，存在一个紧支撑势 $ q $，使得 $ H $ 在每个足够大的非空能隙 $ \gamma_n $ 中恰好具有 $ \sigma_n $ 个束缚态和 $ 2 - \sigma_n $ 个反束缚态。
• 对任意满足 $ q_0 = 0 $ 的 $ q $，任意序列 $ \sigma_n \in \{0,2\} $，以及任意满足 $ \delta_n > 0 $ 的序列 $ \delta = (\delta_n)_{n=1}^\infty \in \ell^2 $，存在一个属于 $ L^2(0,1) $ 的周期势 $ p $，使得 $ |\gamma_n| = \delta_n $，且 $ H $ 在每个足够大的非空能隙 $ \gamma_n $ 中恰好具有 $ \sigma_n $ 个特征值和 $ 2 - \sigma_n $ 个反束缚态。
• 特征值 $ \lambda_n^\pm $ 在能隙 $ \gamma_n $ 中的渐近位置为 $ \sqrt{\lambda_n^\pm} = \sqrt{E_n^\pm} \mp \frac{2|\gamma_n|}{(4\pi n)^3}(R_n + O(1/n))^2 $，其中 $ R_n = -|\widehat{q}_n|\cos(\phi_n + \tau_n) $。
• 散射函数虚部满足 $ (-1)^{n+1}J(\lambda_n^\pm) = \frac{|\gamma_n|}{(2\pi n)^2}(R_n + O(1/n)) $，将谱数据与 $ q $ 的傅里叶系数联系起来。