[论文解读] 1D Schr\"odinger operators with complex potentials

Korotyaev, Evgeny|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Advanced Harmonic Analysis Research被引用 3

一句话总结

本文为实轴上具有复势的单变量薛定谔算子建立了迹公式，引入了一类在实势情况下不存在的新奇异测度分量。通过哈代空间理论与约斯特函数的规范因式分解，推导出迹公式，并以势的 L1 范数为基准，对特征值虚部之和与奇异测度之和给出了精确估计。

ABSTRACT

We consider a Schr\"odinger operator with complex-valued potentials on the line. The operator has essential spectrum on the half-line plus eigenvalues (counted with algebraic multiplicity) in the complex plane without the positive half-line. We determine series of trace formulas. Here we have the new term: a singular measure, which is absent for real potentials. Moreover, we estimate of sum of Im part of eigenvalues plus singular measure in terms of the norm of potentials. The proof is based on classical results about the Hardy spaces.

研究动机与目标

• 将经典迹公式推广至实轴上复值势的薛定谔算子。
• 识别并纳入迹公式中在实势情况下不存在的新奇异测度分量。
• 利用势的 L1 范数对特征值虚部之和与奇异测度之和进行估计。
• 应用哈代空间理论与约斯特函数的规范因式分解，推导迹公式与估计式。

提出的方法

• 为薛定谔方程 −f'' + qf = k²f 定义满足向外波条件的约斯特解 f±(x,k)。
• 引入朗斯基行列式 w(k)，及相关函数 ψ(k) = w(k)/(2ik) 与 Ψ(k) = w(k)/(2i(k+i))，定义于上半平面 C+。
• 利用规范因式分解 ψ = ψinψout，其中 ψin 为包含特征值处的 Blaschke 乘积与奇异内因子的内函数。
• 运用哈代空间理论（Hp 空间）分析 ψ 与 Ψ 的解析性质，特别是其在无穷远处的行为。
• 通过展开 Blaschke 乘积的对数并利用 |k| > rc 时的泰勒级数，将结果与势的矩联系起来，从而推导迹公式。
• 利用恒等式 w(k) = 2f+(0,k)f'+(0,k) 将全算子的朗斯基行列式与满足诺伊曼（Hn）和狄利克雷（Hd）边界条件的半直线问题的朗斯基行列式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有复势的薛定谔算子的迹公式与实势情况相比有何不同，特别是在谱分量方面？
• RQ2 在复势的迹公式中，奇异测度起什么作用？它与势的衰减性质有何关联？
• RQ3 特征值虚部之和与奇异测度之和能否以势的 L1 范数为基准进行有界估计？
• RQ4 约斯特函数 ψ(k) 在哈代空间 H∞(C+) 中的规范因式分解如何促进迹公式与估计式的推导？

主要发现

• 迹公式中包含一个在实势情况下不存在的新奇异测度项，该分量对复势情形至关重要。
• 特征值虚部之和与奇异测度的总变差满足如下有界估计：B0 + ν(R)/π ≤ C(1 + ||q||₁) + r₊(Co + log r₊)，其中 r₊ = ||q||。
• 与特征值相关的 Blaschke 乘积 B(k) 满足 ||B||H∞ ≤ 1，且在 |k| > rc = ||q||/2 范围内具有收敛的泰勒级数展开。
• 对于紧支集势，诺伊曼与狄利克雷半直线算子的特征值数量在以 i4||q+|| 为中心、半径 ρ ≥ √8||q+|| 的圆盘内，有界于 1 + (4/log 2)(γρ/π + 2||q+||/ρ)。
• 诺伊曼问题中约斯特函数 ψn(k) 的内因子形式为 Bn(k) e^{-iKn(k)}，其中 Kn(k) 是关于实轴上支撑的奇异测度 dνn 的 Stieltjes 型积分。
• 诺伊曼问题的迹公式为 Bn,0 + νn(R)/π + (1/2)∫₀^∞ Re q₊(x)dx = (1/π) v.p.∫ℝ log|ψn(t)|dt，且右侧绝对收敛。