[论文解读] (2+1)D Noncommutative CP$^{N-1}$ Model

E. A. Asano, M. Gomes+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 3

一句话总结

本文研究了(2+1)维非交换CP^{N-1}模型，证明当基本场在规范群的左 fundamental 表示下变换时，该模型在1/N展开的下一阶近似下是可重整化的，且不具有危险的红外发散。相比之下，伴随表示在规范场两点函数和自能修正中表现出二次红外发散，威胁到高阶1/N展开的有效性。

ABSTRACT

We investigate possible extensions of the (2+1) dimensional $CP^{N-1}$ model to the noncommutative space. Up to the leading nontrivial order of 1/N, we prove that the model restricted to the left fundamental representation of the gauge group is renormalizable and does not have dangerous infrared divergences. In contrast, if the basic field $ϕ$ transforms in accord with the adjoint representation, infrared singularities are present in the two point function of the auxiliary gauge field and also in the leading correction to the self-energy of the $ϕ$ field. These infrared divergences may produce nonintegrable singularities leading at higher orders to a breakdown of the 1/N expansion. Gauge invariance of the renormalization procedure is also discussed.

研究动机与目标

• 研究(2+1)维非交换CP^{N-1}模型在不同规范群表示下的可重整化性与红外行为。
• 确定1/N展开在非交换场论中是否仍然有效，尤其是在存在IR/UV混合的情况下。
• 分析非交换相位以及平面图与非平面图在紫外与红外发散中的作用。
• 研究规范不变性在非交换设定下对重整化程序的影响。
• 比较模型在fundamental（左）表示与伴随表示下的行为，特别是发散结构方面的差异。

提出的方法

• 通过1/N展开至下一阶近似，作者分析了非交换CP^{N-1}模型中传播子与顶点的量子修正。
• 采用维度正规化方法，评估紫外发散，并通过BPHZ减法方案检验其抵消。
• 分析包括费曼图的显式计算，基于非交换相位因子区分平面图与非平面图。
• 作者利用图形恒等式与动量空间泰勒展开，证明发散的抵消，特别是对重叠子图的抵消。
• 在求和图时，将非交换相位因子exp[i(p₁∧p₂ − p₁∧p₃ + p₂∧p₃)]进行分解，以分析红外行为。
• 研究涵盖规范群的fundamental（左）表示与伴随表示，比较其发散结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当物质场在规范群的左fundamental表示下变换时，非交换(2+1)D CP^{N-1}模型是否可重整化？
• RQ2 当场在伴随表示下变换时，辅助规范场的两点函数与标量场自能中是否会出现危险的红外发散？
• RQ3 在非交换场论中，是否可以使用BPHZ方案系统性地抵消1/N展开中的紫外发散？
• RQ4 具有不同非交换相位的非平面图如何影响模型的重整化与红外行为？
• RQ5 非交换理论中电荷共轭对称性的缺失在多大程度上导致了在经典情况下不存在的新发散贡献？

主要发现

• 当标量场处于左fundamental表示时，非交换CP^{N-1}模型在1/N展开的下一阶近似下是可重整化的，且不具有危险的红外发散。
• 在fundamental表示下，传播子的次主导贡献不会引入新的紫外发散，线性发散由于对称性与洛伦兹不变性而两两抵消。
• 质量反项插入项由于图形恒等式的强制作用，在BPHZ减法方案中实现两两抵消。
• 对于三圈图G，所有未减去的振幅之和是有限的，即使对重叠发散子图也完全抵消。
• 具有相反电荷流的非平面图各自表现出线性红外发散，但通过相位因子分解与一阶泰勒展开，其总和实现抵消。
• 在伴随表示下，规范场两点函数与标量自能中出现二次红外发散，可能在高阶破坏1/N展开。