[论文解读] 2+1d Compact Lifshitz Theory, Tensor Gauge Theory, and Fractons

Pranay Gorantla, Ho Tat Lam+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2022

Computational Physics and Python Applications被引用 6

一句话总结

本文通过两种不同的晶格正则化方法（基于改进的Villain形式）研究了2+1维紧致Lifshitz场论，揭示了不同的全局对称性、异常和基态简并度。研究证明其中一种正则化方法导致自对偶理论，当其与U(1)张量规范理论耦合时，可实现具有受限运动性的任何子（fractons），并提供了对任何子/线子-弹性 dualities 的精确晶格实现。

ABSTRACT

The 2+1d continuum Lifshitz theory of a free compact scalar field plays a prominent role in a variety of quantum systems in condensed matter physics and high energy physics. It is known that in compact space, it has an infinite ground state degeneracy. In order to understand this theory better, we consider two candidate lattice regularizations of it using the modified Villain formalism. We show that these two lattice theories have significantly different global symmetries (including a dipole global symmetry), anomalies, ground state degeneracies, and dualities. In particular, one of them is self-dual. Given these theories and their global symmetries, we can couple them to corresponding gauge theories. These are two different $U(1)$ tensor gauge theories. The resulting models have excitations with restricted mobility, i.e., fractons. Finally, we give an exact lattice realization of the fracton/lineon-elasticity dualities for the Lifshitz theory, scalar and vector charge gauge theories.

研究动机与目标

• 为了通过构建并比较两种晶格正则化方法来理解连续的2+1维紧致Lifshitz场论，该理论由于全局对称性而具有无限基态简并度。
• 澄清同一连续场论的不同晶格离散化如何导致不同的全局对称性、异常和拓扑性质，从而挑战‘无关算符在物理上无影响’的假设。
• 将正则化的Lifshitz理论与U(1)张量规范理论耦合，实现具有受限运动性的激发态——任何子，并确定其运动约束。
• 在晶格上精确实现任何子/线子-弹性对偶性，将标量电荷与矢量电荷规范理论与Lifshitz理论联系起来。
• 通过分析其晶格对应物，解决在具有奇异全局对称性的连续场论中定义模糊的问题。

提出的方法

• 使用改进的Villain形式在正方形晶格上对2+1维紧致Lifshitz理论进行正则化，以保持拓扑结构和全局对称性。
• 构建两种不同的晶格理论：一种基于标量场的拉普拉斯算子（拉普拉斯 $φ$-理论），另一种基于偶极矩（偶极 $φ$-理论），二者具有不同的全局对称性和基态简并度。
• 识别并分析由此产生的U(1)张量规范理论的全局对称性（特别是偶极对称性和标量电荷对称性），包括其异常和缺陷运动性。
• 通过规范不变缺陷算符和电荷分布的洛朗多项式条件，推导并分析拓扑缺陷（如任何子和线子）的运动性。
• 通过映射缺陷算符及其在空间平移下的变换性质，建立Lifshitz理论与张量规范理论之间的精确对偶性。
• 使用晶格上的多项式表示，分析缺陷可被移动的条件，通过代数数论（如洛朗多项式的最大公因数和不可约性）确定其运动约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 2+1维紧致Lifshitz理论的不同晶格正则化在全局对称性、异常和基态简并度方面有何不同？
• RQ2 偶极对称性在紧致Lifshitz理论中起什么作用？其结构在拉普拉斯正则化与偶极正则化之间有何差异？
• RQ3 当正则化的Lifshitz理论与U(1)张量规范理论耦合时，是否能产生具有受限运动性的任何子？其运动性由什么决定？
• RQ4 在正方形晶格上的2+1维U(1)拉普拉斯规范理论中，什么条件下一组带电粒子可以被刚性移动？
• RQ5 在什么条件下可以精确地在晶格上实现任何子/线子-弹性对偶性？其对偶性中的基础多项式结构起什么作用？

主要发现

• 拉普拉斯 $φ$-理论正则化在特定对偶变换下是自对偶的，而偶极 $φ$-理论不是，表明尽管连续极限相似，但其全局结构截然不同。
• 两种晶格理论表现出不同的全局对称性：拉普拉斯理论具有偶极对称性，而偶极理论具有标量电荷对称性，导致缺陷运动性性质不同。
• 两种理论的基态简并度均为无限，但其简并结构不同：拉普拉斯理论的简并由绕数标记，而偶极理论的简并与守恒的偶极矩相关。
• 在2+1维U(1)拉普拉斯规范理论中，除非处于平凡超选择扇区，否则有限个带电粒子无法被刚性移动，这由洛朗多项式上的非零最大公因数条件所证明。
• 缺陷的运动性取决于 $X^{x_0}Y^{y_0} - 1$ 是否与电荷多项式 $p(X,Y)$ 共享非平凡因子；由于 $p(X,Y)$ 在乘以单项式后不可约，且 $X^{x_0}Y^{y_0} - 1$ 在 $γ = γ(x_0,y_0)$ 下也不可约，因此不允许任何非平凡的刚性位移。
• 通过将Lifshitz理论的缺陷算符映射到张量规范理论的缺陷算符，实现了任何子/线子-弹性对偶性的精确晶格实现，且该对偶性在晶格正则化下得以保持。