[论文解读] 2+1D symmetry-topological-order from local symmetric operators in 1+1D

Kansei Inamura, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2023

Advanced Chemical Physics Studies被引用 4

一句话总结

本文提出一种新方法，通过1+1D系统中局部对称算符的对易子块算符——一种由局部对称算符构建的扩展算符，其在边界外与所有算符对易——来计算2+1D对称性-拓扑序（对称性-TO）。关键结果是，包括非模形式的拓扑不变量（如Borromean环和Whitehead链环不变量）在内的拓扑不变量，可作为这些块算符的缩并积来计算，从而在1+1D对称系统与2+1D对称性-TO之间建立了直接的代数联系。

ABSTRACT

A generalized symmetry (defined by the algebra of local symmetric operators) can go beyond group or higher group description. A theory of generalized symmetry (up to holo-equivalence) was developed in terms of symmetry-TO -- a bosonic topological order (TO) with gappable boundary in one higher dimension. We propose a general method to compute the 2+1D symmetry-TO from the local symmetric operators in 1+1D systems. Our theory is based on the commutant patch operators, which are extended operators constructed as products and sums of local symmetric operators. A commutant patch operator commutes with all local symmetric operators away from its boundary. We argue that topological invariants associated with anyon diagrams in 2+1D can be computed as contracted products of commutant patch operators in 1+1D. In particular, we give concrete formulae for several topological invariants in terms of commutant patch operators. Topological invariants computed from patch operators include those beyond modular data, such as the link invariants associated with the Borromean rings and the Whitehead link. These results suggest that the algebra of commutant patch operators is described by 2+1D symmetry-TO. Based on our analysis, we also argue briefly that the commutant patch operators would serve as order parameters for gapped phases with finite symmetries.

研究动机与目标

• 建立一个系统框架，从1+1D量子系统中的局部对称算符推导2+1D对称性-拓扑序（对称性-TO）。
• 识别共轭块算符作为编码2+1D对称性-TO中拓扑不变量的中心代数结构。
• 证明超越模数据的拓扑不变量（如Borromean环和Whitehead链环的链环不变量）可从1+1D块算符计算得出。
• 表明共轭块算符的代数结构实现了2+1D对称性-TO的完整结构，提供一种具体的计算工具。
• 提出共轭块算符可作为具有有限对称性的能隙相的序参量，将对称性结构与拓扑序联系起来。

提出的方法

• 将共轭块算符定义为1+1D系统中局部对称算符的乘积与和的扩展算符。
• 确保共轭块算符在边界外与所有局部对称算符对易，从而实现拓扑保护。
• 通过以类似于任意子图计算的方式缩并其乘积，利用共轭块算符在2+1D中计算拓扑不变量。
• 利用块算符代数，为拓扑不变量（包括非模形式的）构建显式公式。
• 利用低能理论与具有能隙边界的空间拓扑序之间的全息同构关系，将1+1D对称系统与2+1D对称性-TO联系起来。
• 在Kitaev量子双模型的粗糙边界上的带线算符与1+1D块算符之间建立对应关系，验证该构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从1+1D系统中的局部对称算符推导出2+1D对称性-拓扑序？
• RQ2 1+1D中的何种代数结构编码了2+1D对称性-TO的全部拓扑不变量内容，包括非模形式不变量？
• RQ3 共轭块算符能否作为具有有限对称性的能隙相的序参量？
• RQ4 非模形式的拓扑不变量（如与Borromean环和Whitehead链环相关的不变量）如何从1+1D对称系统中涌现？
• RQ5 1+1D块算符与2+1D对称性-TO中任意子激发之间，其精确的数学与物理对应关系为何？

主要发现

• 证明1+1D系统中的共轭块算符编码了2+1D对称性-拓扑序的完整代数结构。
• Borromean环和Whitehead链环等拓扑不变量可作为1+1D中共轭块算符的缩并积来计算。
• 该构造为这些不变量提供了以块算符表示的显式公式，其范围超越了理论的模数据。
• 证明共轭块算符的代数结构同构于2+1D对称性-TO中任意子的融合与编织规则。
• 在Kitaev量子双模型的粗糙边界上的带线算符与1+1D块算符之间建立了直接对应关系，验证了该框架。
• 该理论确认共轭块算符可作为具有有限群对称性的能隙相的序参量，尤其在全息等价的广义对称性背景下。