[论文解读] 2-adic integral canonical models and the Tate conjecture in characteristic 2

Wansu Kim, Keerthi Madapusi Pera|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文利用 E. Lau 的 2-可除群分类法（通过迪厄多内显示）以及 Kisin 的 p-进霍奇理论，构建了在超特殊水平处的阿贝尔型希米阿拉曲面的 2-进积分典范模型。关键贡献在于证明了在有限生成域上 K3 曲面的 Tate 猜想，包括在之前方法失效的特征 2 情形下。

ABSTRACT

We use E. Lau's classification of 2-divisible groups using Dieudonné displays to construct integral canonical models for Shimura varieties of abelian type at 2-adic places where the level is hyperspecial. We apply this to prove the Tate conjecture for K3 surfaces in characteristic 2.

研究动机与目标

• 在 2-进位置且具有超特殊水平的阿贝尔型希米阿拉曲面的积分典范模型的完整构造，扩展了先前的工作。
• 在特征 2 下证明有限生成域上 K3 曲面的 Tate 猜想，此前该情形尚属开放问题。
• 将 Lau 关于 2-可除群在 2-进环上的分类法（通过迪厄多内显示）应用于 p-进霍奇理论与算术几何。
• 将 Kisin 对 Langlands-Rapoport 猜想的证明扩展至 2-进位置，从而扩大该理论的适用范围。
• 为未来关于平均 Colmez 猜想与 p-进自守形式的研究提供基础工具。

提出的方法

• 利用 E. Lau 的方法，通过迪厄多内显示对一大类 2-进环上的 2-可除群进行分类，以在 2-进位置构造积分典范模型。
• 应用 Kisin 的 p-进霍奇理论构造，以确保与伽罗瓦表示及晶体上同调的相容性。
• 在环 $\mathfrak{S} = W[[u]]$ 上使用布雷乌尔-基辛模，并配备弗罗贝尼乌斯提升，以刻画 p-进伽罗瓦表示。
• 利用从晶体表示中的 $\mathbb{Z}_p$-格到布雷乌尔-基辛模的全忠实张量函子，将几何与伽罗瓦理论联系起来。
• 应用形变理论与局部模型理论，将普通区域上 $\ell$-进上同调与 de Rham 上同调之间的等距性进行延拓。
• 依赖模空间 $\tilde{\mathsf{M}}^{\mathrm{sm}}_{2d}$ 的正规性，将等距性从一般纤维延拓至积分模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有超特殊水平的 2-进位置上，为阿贝尔型希米阿拉曲面构造积分典范模型？
• RQ2 在特征 2 下，有限生成域上 K3 曲面的 Tate 猜想是否成立？
• RQ3 能否利用 Lau 通过迪厄多内显示对 2-可除群的分类法，将 p-进霍奇理论扩展至 2-进积分模型？
• RQ4 在特征 2 下缺乏已知周期映射或形变理论的情况下，K3 曲面的 Tate 猜想是否仍然成立？
• RQ5 能否利用这些积分模型将 Langlands-Rapoport 猜想扩展至 2-进位置？

主要发现

• 本文在超特殊水平的 2-进位置上，为阿贝尔型希米阿拉曲面构造了 2-进积分典范模型，填补了理论中的空白。
• 证明了在有限生成域上 K3 曲面的 Tate 猜想，包括在特征 2 情形下，此前该情形尚未被证明。
• 证明依赖于将普通区域上模空间 $\tilde{\mathsf{M}}^{\mathrm{sm}}_{2d}$ 的 $\ell$-进上同调与 de Rham 上同调之间的等距性进行延拓。
• 该构造利用了 Lau 的迪厄多内显示分类法与 Kisin 的 p-进霍奇理论之间的相容性，以确保积分性及与伽罗瓦作用的相容性。
• 该结果将 Kisin 对 Langlands-Rapoport 猜想的证明扩展至 2-进位置，消除了先前的限制。
• 本文证明了通过 Artin 对 Picard 秩常数性的结果，Tate 猜想对超特殊 K3 曲面成立，且在光滑区域上该猜想成立。