[论文解读] 2-Local derivations on matrix rings over associative rings

Shavkat Ayupov, Farhodjon Arzikulov|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文证明了在交换结合环 $\Re$ 上的矩阵环 $M_n(\Re)$ 上，每个内2-局部导子都是内导子，且每个 $\Re$ 上的导子均可延拓为 $M_n(\Re)$ 上的导子。结果将先前关于2-局部导子的研究推广至交换矩阵环，并在非单位元和非分离情形下建立了导子的基础延拓定理。

ABSTRACT

In the present paper it is proved that every inner 2-local derivation on the matrix ring $M_n(\Re)$ of $n imes n$ matrices over a commutative associative ring $\Re$ is an inner derivation. Also, it is proved that, every derivation on an associative ring $\Re$ has an extension to a derivation on the matrix ring $M_n(\Re)$ of $n imes n$ matrices over $\Re$.

研究动机与目标

• 确定在交换结合环上的矩阵环上，内2-局部导子是否必为内导子。
• 研究从结合环 $\Re$ 到矩阵环 $M_n(\Re)$ 的导子延拓问题。
• 将先前关于2-局部导子在有限维及希尔伯特空间情形下的结果推广至一般交换结合环。
• 建立2-局部导子为加法映射（从而为导子）的条件。
• 探索在非单位元和非分离代数结构下，内2-局部导子的结构性质。

提出的方法

• 将内2-局部导子定义为映射 $\Delta: M_n(\Re) \to M_n(\Re)$，使得对任意 $x,y$，存在 $a \in M_n(\Re)$ 满足 $\Delta(x) = [a,x]$ 且 $\Delta(y) = [a,y]$。
• 利用矩阵单位 $\{e_{i,j}\}$ 分解元素，并分析 $\Delta$ 在初等矩阵上的作用。
• 通过矩阵分量恒等式的引理，证明 $\Delta$ 在 $e_{i,j}$ 和 $\sum e_{k,k+1}$ 上的作用通过伴随子的一致性得以保持。
• 通过先将导子延拓至 $M_2(\Re)$，再延拓至 $M_4(\Re)$ 等方式，利用投影限制方法，构造从 $\Re$ 到 $M_n(\Re)$ 的导子延拓。
• 应用归纳法与子环延拓技术，证明 $\bar{M}_2(\Re) \cong M_2(\Re)$ 上的导子可延拓至 $M_n(\Re)$。
• 利用如下事实：若 $\Re$ 由两个元素生成，且 $\Delta$ 为加法映射，则 $\Delta$ 是通过生成元多项式上的换位子结构所决定的内导子。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于交换结合环 $\Re$ 上的 $M_n(\Re)$，每个内2-局部导子是否必为内导子？
• RQ2 每个结合环 $\Re$ 上的导子是否可延拓为 $M_n(\Re)$ 上的导子？
• RQ3 在何种条件下，结合环 $\Re$ 上的2-局部导子为加法映射（从而为导子）？
• RQ4 在非分离或无限维情形下，从 $\Re$ 到 $M_n(\Re)$ 的导子延拓是否仍成立？
• RQ5 何种结构性约束可确保在由两个元素生成的环上，内2-局部导子为内导子？

主要发现

• 对于交换结合环 $\Re$，$M_n(\Re)$ 上的每个内2-局部导子均为内导子。
• 每个结合环 $\Re$ 上的导子均可通过逐步延拓至 $M_2(\Re)$、$M_4(\Re)$ 等方式延拓为 $M_n(\Re)$ 上的导子。
• 通过在 $M_{2^k}(\Re)$ 上的较大导子限制到 $M_n(\Re)$ 上，利用投影 $e = \sum_{i=1}^n e_{i,i}$ 实现导子的延拓。
• 对于由两个元素生成的环 $\Re$，若内2-局部导子 $\Delta$ 为加法映射，则 $\Delta$ 为内导子。
• 当 $n=1$ 时结论不成立，如在 $U_2(\mathbb{C})$ 中存在反例，表明内2-局部导子未必是加法映射。
• 若冯诺依曼代数 $\mathcal{M}$ 的投影格是非原子的，则 $S(\mathcal{M})$ 上存在非导子的2-局部导子，表明在延拓性质上存在限制。