[论文解读] (2^n,2^n,2^n,1)-relative difference sets and their representations

Yue Zhou|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文证明了在 ℤ₄ⁿ 中相对于 ℤ₂ⁿ 的每个 (2^n, 2^n, 2^n, 1)-相对差集，都对应一个满足 f(x+a) + f(x) + xa 为所有非零 a 的置换的平面函数 f(x) ∈ 𝔽₂ⁿ[x]。当且仅当 f 是平面函数时，由此构造的射影平面为预半域平面，且该论文对这类函数进行了刻画，包括对二次和非二次情形的完整分类。

ABSTRACT

We show that every $(2^n,2^n,2^n,1)$-relative difference set $D$ in $\Z_4^n$ relative to $\Z_2^n$ can be represented by a polynomial $f(x)\in \F_{2^n}[x]$, where $f(x+a)+f(x)+xa$ is a permutation for each nonzero $a$. We call such an $f$ a planar function on $\F_{2^n}$. The projective plane $Π$ obtained from $D$ in the way of Ganley and Spence \cite{ganley_relative_1975} is coordinatized, and we obtain necessary and sufficient conditions of $Π$ to be a presemifield plane. We also prove that a function $f$ on $\F_{2^n}$ with exactly two elements in its image set and $f(0)=0$ is planar, if and only if, $f(x+y)=f(x)+f(y)$ for any $x,y\in\F_{2^n}$.

研究动机与目标

• 通过 𝔽₂ⁿ 上的多项式表示，刻画 ℤ₄ⁿ 中相对于 ℤ₂ⁿ 的 (2^n, 2^n, 2^n, 1)-相对差集。
• 确定由此类差集构造的射影平面为预半域平面的必要与充分条件。
• 对 𝔽₂ⁿ 上的平面函数进行分类，特别是那些恰好有两个像值且 f(0) = 0 的函数。
• 探索平面函数与移位强函数之间的联系，特别是在构造此类 RDS 的背景下。

提出的方法

• 将 ℤ₄ⁿ 中的相对差集 D 表示为多项式 f(x) ∈ 𝔽₂ⁿ[x]，使得对所有非零 a ∈ 𝔽₂ⁿ，f(x+a) + f(x) + xa 为置换。
• 使用 Ganley-Spence 构造法，通过平面三元环对由 D 得到的射影平面 Π 进行坐标化。
• 应用 𝔽₂ⁿ 上平面函数的定义：f 是平面函数当且仅当对所有 a ≠ 0，x ↦ f(x+a) - f(x) 是置换。
• 通过分析乘法运算 x ⋆ y = ½(f(x+y) - f(x) - f(y)) 的代数结构，利用 Dembowski-Ostrom 多项式刻画所得平面的代数结构。
• 通过 𝔽₂ⁿ 上的置换 Π 构造移位强函数，并证明当 Π 为置换时，f(x,y) = ⟨x, Π(y)⟩ + g(y) 为移位强函数。
• 研究非二次移位强函数的存在性，并提出问题 2：对于至少一个非二次分量的函数，其最大 m 是多少，使得 m 个分量函数满足移位强函数性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 ℤ₄ⁿ 中相对于 ℤ₂ⁿ 的 (2^n, 2^n, 2^n, 1)-RDS 构造的射影平面 Π 何时为预半域平面？
• RQ2 哪些多项式函数 f(x) ∈ 𝔽₂ⁿ[x] 满足对所有非零 a ∈ 𝔽₂ⁿ，f(x+a) + f(x) + xa 为置换？
• RQ3 是否存在一个 𝔽₂ⁿ 上的函数 f，其恰好有两个像值且 f(0) = 0，使得 f 是平面函数当且仅当它是加法函数？
• RQ4 移位强函数的结构是什么？它们能否用于构造 𝔽₂ⁿ 上的非二次平面函数？
• RQ5 对于 𝔽₂ⁿ 上的向量值函数，其最大 m 是多少，使得 m 个分量函数关于其指标集为移位强函数，且至少一个分量为非二次？

主要发现

• ℤ₄ⁿ 中相对于 ℤ₂ⁿ 的每个 (2^n, 2^n, 2^n, 1)-RDS 都来自一个平面函数 f(x) ∈ 𝔽₂ⁿ[x]，使得对所有非零 a ∈ 𝔽₂ⁿ，f(x+a) + f(x) + xa 为置换。
• 由此类差集构造的射影平面 Π 是预半域平面当且仅当对应的函数 f 是平面函数。
• 一个 𝔽₂ⁿ 上的函数 f，若其恰好有两个像值且 f(0) = 0，则 f 是平面函数当且仅当它是加法函数，即对所有 x,y ∈ 𝔽₂ⁿ，有 f(x+y) = f(x) + f(y)。
• 构造 f(x,y) = ⟨x, Π(y)⟩ + g(y) 对任意 𝔽₂ⁿ 上的置换 Π 和任意函数 g，均产生一个移位强函数。
• 非二次移位强函数存在；例如，定理 5.1 的构造在 Π 为置换时可产生此类函数。
• 本文表明，当 n 较大时，存在次数大于 2 的移位强函数，且提出了一个开放问题：确定最大 m，使得 m 个分量函数可为移位强函数，且至少一个分量为非二次。