[论文解读] 2D reductions of the equation $u_{yy} = u_{tx} + u_yu_{xx} - u_xu_{xy}$ and their nonlocal symmetries

Pavel Holba, I. S. Krasil’shchik+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究三维偏微分方程 $u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$ 的二维约化，特别是 Gibbons-Tsarev 方程及其他相关方程。通过原方程的 Lax 对，构造了覆盖空间中的非局部对称性，并证明这些对称性的李代数同构于 Witt 代数，揭示了这些非线性偏微分方程中深层的可积性结构。

ABSTRACT

We consider the 3D equation $u_{yy} = u_{tx} + u_yu_{xx} - u_xu_{xy}$ and its 2D reductions: (1) $u_{yy} = (u_y+y)u_{xx}-u_xu_{xy}-2$ (which is equivalent to the Gibbons-Tsarev equation) and (2) $u_{yy} = (u_y+2x)u_{xx} + (y-u_x)u_{xy} -u_x$. Using reduction of the known Lax pair for the 3D equation, we describe nonlocal symmetries of~(1) and~(2) and show that the Lie algebras of these symmetries are isomorphic to the Witt algebra.

研究动机与目标

• 分析三维可积偏微分方程 $u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$ 的二维对称约化。
• 识别并分类两个不可线性化的约化方程（Gibbons-Tsarev 方程与另一相关方程）的非局部对称性。
• 利用原方程的 Lax 对建立非局部对称代数的代数结构。
• 证明两个约化方程的非局部对称性李代数同构于 Witt 代数。

提出的方法

• 将三维方程的 Lax 对约化，以获得二维约化对应的覆盖结构。
• 通过将局部对称性提升至无穷维覆盖空间，构造非局部对称性。
• 使用生成函数 $R = \sum_{i=1}^\infty \lambda^i r_i$ 参数化覆盖中的非局部变量。
• 显式计算对称分量 $\gamma_{-2}, \gamma_{-1}, \gamma_2$ 及其在 $\sigma^p$ 覆盖中的非局部变量提升。
• 验证对称性的对易关系，以确认其同构于 Witt 代数。
• 使用涉及 $r_i^p$、$P_{j,k}^{(1)}$ 及 $p$ 的线性形式乘积的递推公式，表达对称分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维偏微分方程 $u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$ 的二维约化，其非局部对称代数的结构是什么？
• RQ2 如何利用三维方程的 Lax 对在约化后的二维方程中构造非局部对称性？
• RQ3 这两个二维约化方程的非局部对称代数是否同构于某个已知的无穷维李代数？
• RQ4 参数 $p$ 在覆盖 $\sigma^p$ 中的作用是什么？它如何影响对称性结构？

主要发现

• Gibbons-Tsarev 方程（约化 1）的非局部对称性构成一个同构于 Witt 代数 $\mathfrak{W}$ 的李代数。
• 第二个二维约化方程（方程 3）的非局部对称性也构成一个同构于 Witt 代数 $\mathfrak{W}$ 的李代数。
• 在 $\sigma^p$ 覆盖中，导出了非局部对称性 $\Gamma_{-2}, \Gamma_{-1}, \Gamma_2$ 的显式公式，涉及非局部变量 $r_i^p$ 的无穷级数。
• 权重为 2 的对称性 $\gamma_2$ 被显式构造，其系数依赖于 $p$、$x$、$y$、$u$、$u_x$、$u_y$ 及非局部变量。
• 当 $p=2$ 时，覆盖 $\sigma^2$ 产生一个与 Gibbons-Tsarev 方程已知覆盖等价的系统，证实与先前结果的一致性。
• 两个约化中李代数结构保持不变，表明存在一种与母体三维方程 Lax 对相关的普遍对称机制。