[论文解读] 3+1d Boundaries with Gravitational Anomaly of 4+1d Invertible Topological Order for Branch-Independent Bosonic Systems

Zheyan Wan, Juven Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

本文在时空晶格上引入了分支无关的玻色子（BIB）系统，其中路径积分在单纯复形的分支结构下保持不变，从而实现了对由Stiefel-Whitney类 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 所表征的4+1维可逆拓扑序的一致描述。研究表明，在BIB系统中，$\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 拓扑序是非平凡的，但在一般的晶格玻色子（GLB）系统中变为平凡的，这意味着GLB系统中的可逆拓扑序不能通过定向cobordism分类。该工作构建了具有引力异常的3+1维能隙和能隙边界，包括具有费米子电荷和通量的 $\mathbb{Z}_2$ 规范理论，并阐明了自旋结构（Spin和Spin$^c$）如何使 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 异常消失，而更高阶结构如Spin$\times_{\mathbb{Z}_2}$Spin则诱导出与大统一理论相关的混合异常。

ABSTRACT

We study bosonic systems on a spacetime lattice defined by path integrals of commuting fields. We introduce branch-independent bosonic (BIB) systems, whose path integral is independent of the branch structure of the spacetime simplicial complex, even for a spacetime with boundaries. In contrast, a generic lattice bosonic (GLB) system's path integral may depend on the branch structure. We find the invertible topological order characterized by the Stiefel-Whitney cocycle (e.g., 4+1d w$_2$w$_3$) to be nontrivial for BIB systems, but this topological order and a trivial gapped tensor product state belong to the same phase for GLB systems. The invertible topological orders in GLB systems are not classified by the oriented cobordism. The branch dependence on a lattice may be related to the orthonormal frame of smooth manifolds and the framing anomaly of continuum field theories. The branch structure on a discretized lattice may be related to a frame structure on a smooth manifold that trivializes any Stiefel-Whitney classes. We construct BIB systems to realize the w$_2$w$_3$ topological order, and its 3+1d gapped or gapless boundaries. A 3+1d $\mathbb{Z}_2$ gauge theory with (1) fermionic $\mathbb{Z}_2$ gauge charge particle trivializes w$_2$ and (2) fermionic $\mathbb{Z}_2$ gauge flux line trivializes w$_3$. In particular, if the flux loop's worldsheet is unorientable, then an orientation-reversal 1d worldline corresponds to a fermion worldline carrying no $\mathbb{Z}_2$ gauge charge. Spin and Spin$^c$ structures trivialize the w$_2$w$_3$ global pure gravitational anomaly to zero (which helps to construct 3+1d $\mathbb{Z}_2$ and all-fermion U(1) gauge theories), but the Spin$^h$ and Spin$ imes_{\mathbb{Z}_2}$Spin$(n \geq 3)$ structures modify the w$_2$w$_3$ into a global mixed gauge-gravitational anomaly, which helps to constrain Grand Unifications (e.g., $n=10,18$) or construct new models.

研究动机与目标

• 在时空晶格上定义并构造分支无关的玻色子（BIB）系统，使得路径积分不依赖于单纯复形的分支结构。
• 在BIB系统的背景下，研究引力异常在4+1维可逆拓扑序中的作用，特别是 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 类别。
• 对 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 拓扑序的3+1维能隙和能隙边界进行分类与实现，包括具有费米任何任何任何子和非平凡自旋结构的边界。
• 澄清BIB系统与一般晶格玻色子（GLB）系统在cobordism分类上的区别，表明GLB系统不能通过定向cobordism对可逆拓扑序进行分类。
• 探讨自旋结构（Spin、Spin$^c$、Spin$\times_{\mathbb{Z}_2}$Spin）如何影响 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 异常，实现异常消除或诱导出与大统一模型相关的混合 gauge-引力异常。

提出的方法

• 通过在时空晶格上对满足虚时条件的可交换场进行路径积分，引入分支无关玻色子（BIB）系统的概念，确保其在分支结构选择下保持不变。
• 利用Stiefel-Whitney类 $\mathrm{w}_2$ 和 $\mathrm{w}_3$ 来表征4+1维可逆拓扑序，其中 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 类是关键的拓扑不变量。
• 构建一个3+1维能隙 $\mathbb{Z}_2$ 规范理论边界，其中包含一个费米子 $\mathbb{Z}_2$ 规范电荷粒子（使 $\mathrm{w}_2$ 消失）和一个“费米子” $\mathbb{Z}_2$ 规范通量环（使 $\mathrm{w}_3$ 消失），其中通量环的非可定向世界面对应于一个无 $\mathbb{Z}_2$ 电荷的费米子世界线。
• 应用类似Wess-Zumino-Witten的项 $\mathrm{e}^{i\pi \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1}}$ 来定义边界上的路径积分，其中 $A^{\mathbb{Z}_2^f}$ 编码边界的自旋结构。
• 证明路径积分在规范变换 $\mathrm{w}_2 \to \mathrm{w}_2 + \mathrm{d}v_1^{\mathbb{Z}_2}$、$A^{\mathbb{Z}_2^f} \to A^{\mathbb{Z}_2^f} + v_1^{\mathbb{Z}_2}$ 下保持分支无关，确保在非自旋流形上的理论一致性。
• 分析自旋结构（Spin和Spin$^c$）如何使 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 异常消失，而Spin$\times_{\mathbb{Z}_2}$Spin结构则将其转化为非微扰的混合 gauge-引力异常，从而对大统一模型施加约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 时空单纯复形的分支结构如何影响晶格玻色子系统的路径积分？分支无关玻色子（BIB）系统与一般晶格玻色子（GLB）系统有何区别？
• RQ2 为何 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 拓扑序在BIB系统中是非平凡的，而在GLB系统中变为平凡的？这对通过定向cobordism分类可逆拓扑序意味着什么？
• RQ3 3+1维能隙 $\mathbb{Z}_2$ 规范理论如何实现来自4+1维 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 拓扑序的引力异常？费米子任意子和自旋结构在此过程中起什么作用？
• RQ4 自旋结构（Spin和Spin$^c$）如何使 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 异常消失？更高阶结构如Spin$\times_{\mathbb{Z}_2}$Spin如何将其转化为与大统一理论相关的混合异常？
• RQ5 Wess-Zumino-Witten类似项 $\mathrm{e}^{i\pi \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1}}$ 在确保分支无关性和一致边界理论中起什么作用？

主要发现

• $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 拓扑序在分支无关玻色子（BIB）系统中是非平凡的，但在一般晶格玻色子（GLB）系统中变为平凡的，表明GLB系统中的可逆拓扑序不能通过定向cobordism分类。
• 构建了一个3+1维能隙 $\mathbb{Z}_2$ 规范理论边界，其中包含一个费米子 $\mathbb{Z}_2$ 规范电荷粒子（使 $\mathrm{w}_2$ 消失）和一个“费米子” $\mathbb{Z}_2$ 规范通量环（使 $\mathrm{w}_3$ 消失），其中通量环的世界面为非可定向，意味着其对应一个无 $\mathbb{Z}_2$ 电荷的费米子世界线。
• 边界的路径积分为 $ Z = \sum_{\mathrm{d}l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} = 0} \mathrm{e}^{i\pi \left( \int_{B^d} l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} A^{\mathbb{Z}_2^f} + \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} \right)} $，其中 $A^{\mathbb{Z}_2^f}$ 编码自旋结构并确保分支无关性。
• $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 异常被自旋结构（Spin和Spin$^c$）所消除，但被 Spin$\times_{\mathbb{Z}_2}$Spin 结构修改为非微扰的全局混合 gauge-引力异常，这可以对具有 $n=10$ 或 $n=18$ 的大统一模型施加约束。
• Wess-Zumino-Witten类似项 $\mathrm{e}^{i\pi \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1}}$ 在规范变换 $\mathrm{w}_2 \to \mathrm{w}_2 + \mathrm{d}v_1^{\mathbb{Z}_2}$、$A^{\mathbb{Z}_2^f} \to A^{\mathbb{Z}_2^f} + v_1^{\mathbb{Z}_2}$ 下保持分支无关，确保在非自旋流形上的理论一致性。
• 半整数自旋和费米统计的出现与通过 $A^{\mathbb{Z}_2^f}$ 耦合世界线至 $\mathrm{w}_2$ 类有关，其中在边界上 $\mathrm{w}_2 = \mathrm{d}A^{\mathbb{Z}_2^f}$ 确保 $\mathbb{Z}_2$-通量环耦合至一个费米子世界线。