[论文解读] 3 Isotropic Markov semigroups on ultra-metric spaces∗

Alexander Bendikov, Alexander Grigor'yan+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2016

advanced mathematical theories参考文献 71被引用 66

一句话总结

该论文利用参考测度和距离分布函数，在具有紧致球的超度量空间上构造了各向同性马尔可夫半群，建立了转移密度和格林函数的精确界限，并证明生成元具有纯点谱。一个关键结果是p进树上的随机游走与它们边界上各向同性跳跃过程之间的对偶性，表明泰布尔森和弗拉基米罗夫拉普拉斯算子作为此类过程的生成元出现，且与Qp上的分数阶导数存在显式的时间变换关系。

ABSTRACT

Let (X,d) be a locally compact separable ultra-metric space. Given a reference measure \mu\ on X and a step length distribution on the non-negative reals, we construct a symmetric Markov semigroup P^t acting in L^2(X,\mu). We study the corresponding Markov process. We obtain upper and lower bounds of its transition density and its Green function, give a transience criterion, estimate its moments and describe the Markov generator and its spectrum, which is pure point. In the particular case when X is the field of p-adic numbers, our construction recovers fractional derivative and the Taibleson Laplacian (spectral multiplier), and we can also apply our theory to the study of the Vladimirov Laplacian which is closely related to the concept of p-adic Quantum Mechanics. Even in this well established setting, several of our results are new. We also elaborate the relation between our processes and Kigami's jump processes on the boundary of a tree which are induced by a random walk. In conclusion, we provide examples illustrating the interplay between the fractional derivatives and random walks.

研究动机与目标

• 利用参考测度和距离分布函数，在具有紧致球的可分超度量空间上构造对称马尔可夫半群。
• 推导与该马尔可夫过程相关的转移密度和格林函数的精确上界与下界。
• 将马尔可夫生成元的谱特征化为纯点谱，并将其与首次 hitting 时间和格林函数的分布联系起来。
• 在根树上建立最近邻随机游走与边界上各向同性跳跃过程之间的对偶性，特别是在p进设置下。
• 在p进分析和分数阶导数的背景下，恢复并扩展关于泰布尔森和弗拉基米罗夫拉普拉斯算子的已知结果。

提出的方法

• 通过超度量空间 (X, d) 上的距离分布函数 σ 和参考测度 µ，定义 L²(X, µ) 上的对称马尔可夫半群 {P_t}。
• 使用次序化技术将半群与莱维过程关联，并推导谱分布函数。
• 应用狄利克雷型形式和跳跃核理论，刻画生成元 L 及其定义域。
• 通过分析函数 v ↦ 1/G(v, o) 的值域，建立 L 的纯点谱。
• 利用依赖于p进范数的树基随机游走，建模边界过程。
• 通过树层级上的递推关系，推导首次 hitting 概率 F(v, o)、格林函数 G(v, o) 和奈姆核 Θ_o(x, y) 的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用参考测度和距离分布函数，系统地在具有紧致球的超度量空间上构造对称马尔可夫半群？
• RQ2 此类过程的转移密度和格林函数的精确上界与下界是什么？
• RQ3 马尔可夫生成元 L 的谱如何与底层超度量空间的几何结构以及过程的首次 hitting 时间相关联？
• RQ4 p进树上的最近邻随机游走与它们边界上各向同性跳跃过程之间的精确关系是什么？
• RQ5 泰布尔森和弗拉基米罗夫拉普拉斯算子在 Qp 上如何作为此类过程的生成元出现，且与分数阶导数有何关系？

主要发现

• 马尔可夫生成元 L 具有纯点谱，其本征值由函数 v ↦ 1/G(v, o) 的值域与 0 共同构成。
• 对于参数 c = (1 + p^{-α})^{-1} 的 p进树 T_p 上的随机游走，首次 hitting 概率 F(v, o) = p^{-α|v|}，格林函数 G(v, o) = p^{-α|v|}/(1 - p^{-α})。
• 由随机游走诱导的边界过程是在 Z_p 上的各向同性跳跃过程，其跳跃核与 p进分数阶导数 D_α 的核成正比。
• 边界过程与 D_α 驱动的过程通过线性时间变换相关联：X_t / C = X_α_t，其中 C = p^{-α}(1 - p^{-α})。
• D_α 的跳跃核 J_α 与边界生成元 L 的核 Θ_o 满足关系：J_α(x, y) = (p^α / (1 - p^{-α})) Θ_o(x, y)。
• 对于参考端点为 ̟ 的非紧致情形，边界过程的内在度量和跳跃核分别为 d_φ(x, y) = ((1 - p^{-α}) / (1 + p^{-α})) ||x - y||_p^α 和 J(x, y) = ((1 - p^{-α})^2 / ((1 + p^{-α})(1 - p^{-α-1}))) ||x - y||_p^{-(α+1)}，且满足 J(x, y) = ((1 - p^{-α}) / (p^α + 1)) J_α(x, y)。