[论文解读] 3-Lie-Rinehart Algebras

Ruipu Bai, Xiaojuan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 17

一句话总结

本文引入了3-李-里内哈特代数作为一类新的代数结构，统一了3-李代数和里内哈特的李-里内哈特代数，定义为三元组 $(L, A, \rho)$，其中 $L$ 是一个3-李代数且是 $A$-模，$\rho$ 是一个满足 $\rho(L,L) \subseteq \text{Der}(A)$ 的表示。主要贡献在于从已有结构构造新的3-李-里内哈特代数，并证明在此框架下，交叉模和导子结构推广了经典的李-里内哈特结构。

ABSTRACT

In this paper, we define a class of 3-algebras which are called 3-Lie-Rinehart algebras. A 3-Lie-Rinehart algebra is a triple $(L, A, ρ)$, where $A$ is a commutative associative algebra, $L$ is an $A$-module, $(A, ρ)$ is a 3-Lie algebra $L$-module and $ρ(L, L)\subseteq Der(A)$. We discuss the basic structures, actions and crossed modules of 3-Lie-Rinehart algebras and construct 3-Lie-Rinehart algebras from given algebras, we also study the derivations from 3-Lie-Rinehart algebras to 3-Lie $A$-algebras. From the study, we see that there is much difference between 3-Lie algebras and 3-Lie-Rinehart algebras.

研究动机与目标

• 定义并形式化一类新的代数结构——3-李-里内哈特代数，以统一3-李代数和里内哈特的李-里内哈特代数。
• 研究3-李-里内哈特代数中作用、模和交叉模的结构。
• 通过张量积和外代数，从已有代数结构构造新的3-李-里内哈特代数。
• 研究从3-李-里内哈特代数到3-李 $A$-代数的导子及其表示理论意义。
• 建立3-李-里内哈特代数产生李-里内哈特代数交叉模的条件。

提出的方法

• 将3-李-里内哈特代数定义为三元组 $(L, A, \rho)$，其中 $L$ 是一个3-李代数，$A$ 是一个交换结合代数，$L$ 是 $A$-模，且 $\rho: L \times L \to \text{Der}(A)$ 满足相容性条件。
• 通过 $L \otimes A$ 和 $E$ 利用给定的代数结构和表示 $\rho$ 构造新的3-李-里内哈特代数。
• 定义半直积 $(L \ltimes R, A, \rho_4)$，以证明当且仅当 $(R, \beta)$ 是 $(L,A,\rho)$-模时，该半直积构成一个3-李-里内哈特代数。
• 在 $L \wedge L$ 和 $W(L,R,A)$ 上引入李-里内哈特代数结构，并定义相应的表示 $\rho_2$ 和 $\rho_3$。
• 通过映射 $\partial(x \wedge y) = \overline{(\text{Ad}(x\wedge y), 0)}$ 和 $\beta(\overline{(\varphi, x\wedge y)}) = \varphi$ 定义交叉模 $(L\wedge L, A, \beta, \partial)$。
• 证明 $\partial$ 是李代数同态，且 $\beta$ 满足交叉模公理，同时 $\ker(\partial)$ 是 $L\wedge L$ 的中心。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将3-李代数扩展为在交换结合代数上的模结构，同时保持3-李括号公理？
• RQ2 在何种条件下，3-李-里内哈特代数会导出李-里内哈特代数的交叉模？
• RQ3 表示 $\rho$ 在确定3-李 $A$-代数上的导子和作用中起什么作用？
• RQ4 像 $L \otimes A$、$L \wedge L$ 和 $W(L,R,A)$ 这类构造如何从一个给定代数结构生成新的3-李-里内哈特代数？
• RQ5 在交叉模结构中，映射 $\partial$ 的核何时对应于 $L \wedge L$ 的中心？

主要发现

• 当且仅当 $(R, \beta)$ 是 $(L,A,\rho)$-模时，半直积 $(L \ltimes R, A, \rho_4)$ 是一个3-李-里内哈特代数。
• 任何从 $L$ 到 $R$ 的3-李 $A$-代数同态都会诱导出 $(L,A,\rho)$ 在 $(R,A)$ 上的良定义作用 $\beta$。
• 通过 $\rho_1$ 构造的 $L \otimes A$ 生成一个3-李-里内哈特代数，如定理 2.6 所示。
• 外代数 $L \wedge L$ 搭配 $\rho_2$ 构成一个李-里内哈特代数，如定理 2.8 所确立。
• 由 $\partial(x \wedge y) = \overline{(\text{Ad}(x\wedge y), 0)}$ 定义的映射 $\partial: L \wedge L \to \overline{W(L,L,A)}$ 是一个李代数同态。
• 映射 $\partial$ 的核是李代数 $L \wedge L$ 的中心，且在 $A$-模作用下封闭。