[论文解读] 3SUM, 3XOR, Triangles

Zahra Jafargholi, Emanuele Viola|arXiv (Cornell University)|May 16, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文提出了對Pätraşcu從3SUM到三角形列舉的歸約的確定性逆向，表明若能在時間 $\tilde{O}(n^{1+\epsilon})$ 內解決3SUM，則可在時間 $\tilde{O}(m^{1+\epsilon}t^{1/3 - \epsilon/3})$ 內列舉出 $m$ 條邊的圖中的 $t$ 個三角形。主要貢獻在於建立了一套連結3SUM、3XOR與三角形列舉的歸約網絡，顯示若其中任一問題的時間複雜度顯著低於二次方，則三角形列舉的時間複雜度也必須快於 $m^{4/3}$，僅相差次多項式因子。

ABSTRACT

We show that if one can solve 3SUM on a set of size n in time n^{1+\e} then one can list t triangles in a graph with m edges in time O(m^{1+\e}t^{1/3-\e/3}). This is a reversal of Patrascu's reduction from 3SUM to listing triangles (STOC '10). Our result builds on and extends works by the Paghs (PODS '06) and by Vassilevska and Williams (FOCS '10). We make our reductions deterministic using tools from pseudorandomness. We then re-execute both Patrascu's reduction and our reversal for the variant 3XOR of 3SUM where integer summation is replaced by bit-wise xor. As a corollary we obtain that if 3XOR is solvable in linear time but 3SUM requires quadratic randomized time, or vice versa, then the randomized time complexity of listing m triangles in a graph with $m$ edges is m^{4/3} up to a factor m^αfor any α> 0.

研究动机与目标

• 逆向Pätraşcu從3SUM到三角形列舉的歸約，建立兩者之間的雙向聯繫。
• 將此聯繫延伸至3SUM的3XOR變體，其中整數加法被按位XOR取代。
• 使用偽隨機性工具使歸約過程確定化，克服隨機化構造的限制。
• 分析3SUM與3XOR時間複雜度差異對圖中三角形列舉時間複雜度的影響。
• 證明若3SUM需要二次方時間但3XOR可在 $\tilde{O}(n)$ 時間內解決，或反之，則列舉三角形的時間必須為 $m^{4/3}$，僅相差次多項式因子。

提出的方法

• 適應並擴展Vassilevska與Williams從三角形列舉到三角形檢測的歸約，使其適用於鄰接表結構，而非僅鄰接矩陣。
• 使用遞迴的分治策略搭配隨機抽樣，以減少子問題中的邊數，同時保持三角形的完整性。
• 應用偽隨機構造以去隨機化抽樣過程，透過集中不等式確保確定性保證。
• 利用邊包含機率的變異數分析，控制 $\alpha$ 與 $\delta$ 參數下的偏移，以界定抽樣子圖中邊的期望數量。
• 將三角形檢測、邊抽樣與遞迴列舉的子程式整合為單一演算法，總時間複雜度為 $\tilde{O}(m^{1+\epsilon}t^{1/3 - \epsilon/3})$。
• 採用分層遞迴機制，子問題按層次處理，層數受 $\lg t^{1/3}$ 限制，並透過幾何級數分析總成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可逆向3SUM到三角形列舉的歸約，使得更快的3SUM演算法能導致更快的三角形列舉？
• RQ2 3SUM的3XOR變體對圖中三角形列舉複雜度有何影響？
• RQ3 是否可能3SUM需要 $\tilde{\Omega}(n^2)$ 時間，而3XOR可在 $\tilde{O}(n)$ 時間內解決，或反之？
• RQ4 列舉 $m$ 個三角形的圖中 $m$ 條邊的圖的隨機化時間複雜度的最緊界限為何？
• RQ5 如何利用偽隨機性使三角形列舉與3SUM情境下的隨機化歸約變為確定性？

主要发现

• 成功實現Pätraşcu歸約的確定性逆向：若能在時間 $\tilde{O}(n^{1+\epsilon})$ 內解決3SUM，則可在時間 $\tilde{O}(m^{1+\epsilon}t^{1/3 - \epsilon/3})$ 內列舉出 $m$ 條邊圖中的 $t$ 個三角形。
• 列舉 $t$ 個三角形的時間複雜度被限制在 $\tilde{O}(m^{1+\epsilon}t^{1/3 - \epsilon/3})$，當 $\epsilon < 1/15$ 時，此結果優於Pagh的 $\tilde{O}(m^{1.4})$ 演算法。
• 若3SUM需要 $\tilde{\Omega}(n^2)$ 隨機化時間但3XOR可在 $\tilde{O}(n)$ 時間內解決，或反之，則列舉 $\min\{z,m\}$ 個三角形的時間必須為 $m^{4/3}$，僅相差 $m^{\alpha}$ 因子，其中任意 $\alpha > 0$。
• 透過類似技術建立了從3XOR到三角形列舉的歸約，顯示兩者在複雜度上緊密相關。
• 分析顯示邊抽樣的變異數受 $O((\alpha + \delta)m^2)$ 限制，確保集中性，使遞迴抽樣策略以高機率成功。
• 最終時間界由遞迴層次的幾何級數求和推導而出，主導項由層次 $\ell = \lg t^{1/3}$ 決定，進而得出所聲稱的複雜度。