[论文解读] 4 A PRIORI ESTIMATES AND APPLICATION TO THE SYMMETRY OF SOLUTIONS FOR CRITICAL p–LAPLACE EQUATIONS

Jérôme Vétois|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 36被引用 81

一句话总结

本文為 R^n 中臨界 p-Laplace 方程的解建立了精確的逐點先驗估計，證明了解及其梯度的衰減速率。透過結合弱 Lebesgue 空間的有界性、尺度變換技術與 Harnack 型不等式，作者推導出明確的衰減速率，將徑向對稱結果推廣至 1 < p < 2 的完整範圍，適用於 −Δ_p u = u^{p^*-1} 的正解，確認在 D^{1,p}(R^n) 中唯一存在的正解即為已知的徑向對稱解，由 Guedda–Véron 所給出。

ABSTRACT

We establish pointwise a priori estimates for solutions in $D^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ of equations of type $-\Delta_pu=f(x,u)$, where $p\in(1,n)$, $\Delta_p:=\mbox{div}\big(\left| abla u ight|^{p-2} abla u\big)$ is the $p$-Laplace operator, and $f$ is a Caratheodory function with critical Sobolev growth. In the case of positive solutions, our estimates allow us to extend previous radial symmetry results. In particular, by combining our results and a result of Damascelli-Ramaswamy, we are able to extend a recent result of Damascelli-Merch\'an-Montoro-Sciunzi on the symmetry of positive solutions in $D^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ of the equation $-\Delta_pu=u^{p^*-1}$, where $p^*:=np/(n-p)$.

研究动机与目标

• 為 D^{1,p}(R^n) 中滿足臨界 Sobolev 增長之非線性項 f(x,u) 的臨界 p-Laplace 方程的解，建立逐點先驗估計。
• 將正解的徑向對稱結果推廣至先前已知範圍 2n/(n+2) ≤ p < 2 之外，涵蓋完整區間 1 < p < 2。
• 證明在 D^{1,p}(R^n) 中，−Δ_p u = u^{p^*-1} 的唯一正解為 Guedda–Véron 所給出的已知徑向對稱解。
• 提供對移動平面法對稱性證明至關重要的先驗衰減估計。
• 提供精確的衰減估計（上界與下界），其在尺度變換下為精確的，且對全域緊緻性論證至關重要。

提出的方法

• 利用測度論方法與弱形式上的截斷技術，推導出解在全局 L^{p^*-1,∞} 範圍內的有界性。
• 對方程進行尺度變換，以分析無窮遠處的漸近行為，將問題轉化為整個空間上的極限定義問題。
• 應用 Poláčik–Quittner–Souplet 的加倍性質，以控制環形區域內解的增長。
• 透過 Serrin 與 Trudinger 的結果，在環形區域上建立 Harnack 不等式，使得以比較大環形區域上 ess sup 與 ess inf 的大小。
• 結合尺度變換論證、Harnack 評估與插值法，推導出 |u(x)| 與 |∇u(x)| 的精確上界。
• 透過在環形區域上應用 Harnack 不等式，並結合能量積分 ∫ f(x,u)dx 的下界，證明正解的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於具有臨界非線性的 R^n 中臨界 p-Laplace 方程的解，其精確的逐點衰減估計為何？
• RQ2 如何利用先驗估計將正解的徑向對稱結果推廣至 1 < p < 2 的完整範圍？
• RQ3 −Δ_p u = u^{p^*-1} 在 D^{1,p}(R^n) 中的解之精確漸近行為為何？
• RQ4 解與其梯度的衰減速率能否以方程的尺度變換方式精確量化？
• RQ5 在環形區域上的 Harnack 不等式在何種條件下可導出正解的下界？

主要发现

• 解 u 滿足逐點上界 |u(x)| ≤ C₀ (1 + |x|)^{-(n−p)/(p−1)} 與 |∇u(x)| ≤ C₀ (1 + |x|)^{-(n−1)/(p−1)}，對所有 x ∈ R^n 成立。
• 常數 C₀ 僅依賴於 n, p, Λ，以及 u 在 L^{p^*-1,∞}(R^n) 與 W^{1,∞}(B(0,3r)) 中的範數。
• 對於滿足 ∫_{R^n} f(x,u) dx > 0 的正解，其下界 u(x) ≥ C₁ (1 + |x|)^{-(n−p)/(p−1)} 成立，其中 C₁ 依賴於 n, p, λ, Λ，以及 u 的下界。
• 環形區域上的 Harnack 不等式確保對所有 R ≥ r，有 sup_{2R<|x|<5R} u(x) ≤ c₄ inf_{2R<|x|<5R} u(x)，其中 c₄ 不依賴於 R。
• 透過結合先驗估計與 Damascelli–Ramaswamy 及 Li 的結果，證明 D^{1,p}(R^n) 中所有正解 −Δ_p u = u^{p^*-1} 均為徑向對稱且嚴格遞減。
• 推論 1.3 確認，Guedda–Véron 解（1.10）為 1 < p < 2 時 D^{1,p}(R^n) 中唯一的正解。