[论文解读] 4-Adic Complexity of Interleaved Quaternary Sequences

Shiyuan Qiang, Xiaoyan Jing+2 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文推导出通过交织两个具有理想自相关性的二元序列构造的四元序列的4-adic复杂度的一般公式。证明了4-adic复杂度至少为 $\log_4(4^n - 1)$，并表明对于许多标准二元序列（m-序列、勒让德序列、孪生素数序列、霍尔序列），复杂度达到或几乎达到理论最大值 $\log_4(4^{2n} - 1)$，确认其对有理逼近攻击具有强抵抗力。

ABSTRACT

Tang and Ding \cite{X. Tang} present a series of quaternary sequences $w(a, b)$ interleaved by two binary sequences $a$ and $b$ with ideal autocorrelation and show that such interleaved quaternary sequences have optimal autocorrelation. In this paper we consider the 4-adic complexity $FC_{w}(4)$ of such quaternary sequence $w=w(a, b)$. We present a general formula on $FC_{w}(4)$, $w=w(a, b)$. As a direct consequence, we obtain a general lower bound $FC_{w}(4)\geq\log_{4}(4^{n}-1)$ where $2n$ is the period of the sequence $w$. By taking $a$ and $b$ to be several types of known binary sequences with ideal autocorrelation ($m$-sequences, twin-prime, Legendre, Hall sequences and their complement, shift or sample sequences), we compute the exact values of $FC_{w}(4)$, $w=w(a, b)$ and show that in most cases $FC_{w}(4)$ reaches or nearly reaches the maximum value $\log_{4}(4^{2n}-1)$. Our results show that the 4-adic complexity of the quaternary sequences defined in \cite{X. Tang} are large enough to resist the attack of the rational approximation algorithm.

研究动机与目标

• 分析通过交织两个具有理想自相关性的二元序列构成的四元序列的4-adic复杂度。
• 为这类交织四元序列的4-adic复杂度建立一般公式。
• 评估4-adic复杂度是否足够高，以抵抗密码学应用中的有理逼近算法。
• 计算由特定已知二元序列（具有理想自相关性）导出的序列的精确4-adic复杂度值。

提出的方法

• 推导 $FC_w(4) = \log_4\left(\frac{4^{2n}-1}{\gcd(S(4), 4^{2n}-1)}\right)$ 的一般表达式，其中 $S(4)$ 是四元序列的整数表示。
• 使用中国剩余定理分析由两个周期为奇数 $n \equiv 3 \pmod{4}$ 的二元序列构成的交织序列的结构。
• 应用分圆数和高斯和的性质，评估特定二元序列的 $S(4) \mod (4^{2n} - 1)$。
• 分析最大公因数 $\gcd(S(4), 4^{2n} - 1)$ 以确定4-adic复杂度。
• 使用数论技术，包括模运算和素因子分析，计算 $d = \gcd(S(4), 4^{2n} - 1)$ 的精确值。
• 验证对于大多数序列类型，$FC_w(4)$ 达到或非常接近最大可能值 $\log_4(4^{2n} - 1)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过交织两个具有理想自相关性的二元序列构成的四元序列的4-adic复杂度的一般公式是什么？
• RQ2 此类交织序列的4-adic复杂度与理论最大值 $\log_4(4^{2n} - 1)$ 相比如何？
• RQ3 对于特定类别的二元序列（m-序列、勒让德序列、孪生素数序列、霍尔序列），4-adic复杂度的精确值是多少？
• RQ4 4-adic复杂度是否超过抵抗有理逼近算法所需的阈值 $\frac{N - 16}{6}$？
• RQ5 能否基于序列的代数结构，使用数论方法精确计算4-adic复杂度？

主要发现

• 交织四元序列的4-adic复杂度满足 $FC_w(4) \geq \log_4(4^n - 1)$，其中 $2n$ 是序列的周期。
• 对于m-序列、勒让德序列、孪生素数序列和霍尔序列，4-adic复杂度达到或非常接近最大可能值 $\log_4(4^{2n} - 1)$。
• 当二元序列为周期 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 的m-序列或勒让德序列时，若 $p \not\equiv 2 \pmod{5}$，则4-adic复杂度恰好为 $\log_4(4^{2p} - 1)$；若 $p \equiv 2 \pmod{5}$，则为 $\log_4\left(\frac{4^{2p} - 1}{5}\right)$。
• 由这些二元序列的补序列、移位序列或采样版本构造的序列，其4-adic复杂度同样保持较高，通常达到最大值或接近最大值。
• 结果证实，此类四元序列对有理逼近算法具有抗性，因为其4-adic复杂度超过所需的阈值 $\frac{N - 16}{6}$。
• 分析表明，4-adic复杂度高度依赖于底层二元序列的代数结构，且可使用数论工具精确计算。