[论文解读] 4-Dimensional Kaluza-Klein Approach to General Relativity in the (2,2)-Splitting of Spacetimes

J. H. Yoon|ArXiv.org|Nov 21, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文提出了一种四维Kaluza-Klein方法来处理广义相对论，通过将时空分解为一个(1+1)维基底流形和一个二维纤维，将引力解释为一个(1+1)维规范场论。在Polyakov规范下，作用量简化为一种与非线性σ模型和标量场耦合的Yang-Mills型理论，微分同胚不变性导致Gauss定律约束，使该形式与零曲面几何建立联系。

ABSTRACT

We propose a Kaluza-Klein approach to general relativity of 4-dimensional spacetimes. This approach is based on the (2,2)-splitting of a generic 4-dimensional spacetime, which is viewed as a local product of a (1+1)-dimensional base manifold and a 2-dimensional fibre space. In this Kaluza-Klein formalism we find that general relativity of 4-dimensional spacetimes can be interpreted in a natural way as a (1+1)-dimensional gauge theory. In a gauge where the (1+1)-dimensional metric can be written as the Polyakov metric, the action is describable as a (1+1)-dimensional Yang-Mills type gauge theory action coupled to a (1+1)-dimensional non-linear sigma field and a scalar field, subject to the constraint equations associated with the diffeomorphism invariance of the (1+1)-dimensional base manifold. Diffeomorphisms along the fibre directions show up as the Yang-Mills type gauge symmetries, giving rise to the Gauss-law constraints. We also present the Einstein's equations in the Polyakov gauge and discuss them from the (1+1)-dimensional gauge theory point of view. Finally we show that this Kaluza-Klein formalism is closely related to the null hypersurface formalism of general relativity.

研究动机与目标

• 通过时空的(2,2)-分解，基于Kaluza-Klein框架重新表述四维广义相对论。
• 将引力解释为具有Yang-Mills和非线性σ模型结构的(1+1)维规范场论。
• 建立(2,2)-分解形式与广义相对论中零曲面方法之间的联系。
• 在Polyakov规范下推导爱因斯坦方程，并从(1+1)维规范场论视角进行分析。

提出的方法

• 通过(2,2)-分解将四维时空分解为一个(1+1)维基底流形和一个二维纤维空间。
• 应用Kaluza-Klein约化，将四维度规表示为(1+1)维度规、规范场和标量场的函数。
• 为(1+1)维度规选择Polyakov规范，以简化作用量并揭示规范结构。
• 将沿纤维方向的微分同胚识别为Yang-Mills规范对称性，从而导出Gauss定律约束。
• 推导出有效作用量，其为(1+1)维Yang-Mills理论与非线性σ模型及标量场的耦合。
• 分析在Polyakov规范下得到的爱因斯坦方程，并将其与规范场论的约束联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过(2,2)-分解将四维时空中的广义相对论重新表述为(1+1)维规范场论？
• RQ2 在Polyakov规范下，有效作用量的结构是什么？它与Yang-Mills理论和非线性σ模型理论有何关系？
• RQ3 沿纤维方向的微分同胚不变性如何体现为规范对称性，并导致Gauss定律约束？
• RQ4 (2,2)-分解形式与广义相对论中零曲面形式之间的几何与动力学关系是什么？
• RQ5 爱因斯坦方程在(2,2)-分解和Polyakov规范选择下如何变换？会涌现出哪些约束？

主要发现

• 在Polyakov规范下，四维爱因斯坦-希尔伯特作用量被重铸为一种与非线性σ模型和标量场耦合的(1+1)维Yang-Mills型规范场论。
• 沿二维纤维的微分同胚生成Yang-Mills规范对称性，导致Gauss定律约束，从而限制动力学行为。
• (2,2)-分解形式自然导出引力的规范场论解释，其中度规和联络场由规范势产生。
• 在Polyakov规范下，爱因斯坦方程被证明等价于从(1+1)维规范场论作用量导出的运动方程。
• 该形式与零曲面方法密切相关，提示引力与规范场论之间存在更深层次的几何统一。
• 从(1+1)基底流形上的微分同胚不变性导出的约束结构被显式推导，并显示与规范场论的Gauss定律约束一致。