[论文解读] 401 and beyond: improved bounds and algorithms for the Ramsey algebra search

Jeremy F. Alm|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2016

Constraint Satisfaction and Optimization被引用 5

一句话总结

本文通过利用 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ 的乘法陪集，改进了在素数域上构造拉姆齐代数的算法与界。借助傅里叶均匀性与和积原理，证明了在任何素数域上均不存在 13 色拉姆齐代数，解决了长期悬而未决的一个关键案例，并建立了比拉姆齐数更紧致的 $p$ 上界，使得计算可高效扩展至 $m=2000$。主要贡献是证明了在素数域上 $m=13$ 不可能实现，且 $A263308(13)=0$。该方法利用傅里叶分析表明，随着 $p$ 增大，乘法子群趋于均匀分布，因而不适合构成拉姆齐代数所需的和自由集。

ABSTRACT

In this paper, we discuss an improvement of an algorithm to search for primes $p$ and coset-partitions of Z/pZ* that yield Ramsey algebras over Z/pZ. We also prove an upper bound on the modulus p in terms of the number of cosets. We have, as a corollary, that there is no prime $p$ for which there exists a partition of Z/pZ* into 13 cosets that yields a 13-color Ramsey algebra. Thus A263308(13) = 0.

研究动机与目标

• 通过使用 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ 的乘法陪集，改进在 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上搜索拉姆齐代数的算法。
• 在 $m$（颜色数）的表达下，建立比指数级拉姆齐界更紧致的素数模 $p$ 上界。
• 通过证明在任何素数域上均不存在此类拉姆齐代数，解决 $m=13$ 的开放案例。
• 利用加性组合学与傅里叶分析，为乘法子群何时可为和自由集提供理论基础。

提出的方法

• 利用和积现象论证 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 的乘法子群在加法上无结构，即表现得像随机集合。
• 对子群 $X_0$ 的特征函数应用傅里叶分析，通过非平凡傅里叶系数的大小来衡量拟随机性。
• 应用帕塞瓦尔恒等式并结合傅里叶系数的界，估算 $x+y=z$ 在 $X_0$ 中的解的数量，证明当 $p > m^4 + 5$ 时该解数非零。
• 利用引理 2 优化算法：若 $X_0 + X_i$ 与 $X_j$ 相交，则其包含 $X_j$ 的全部元素，从而减少需检查的次数。
• 利用 $X_0$ 的 $p^{-1/2}$-均匀性（来自 Schoen 和 Shkredov）来界定解计数中的误差项，证明当 $p > m^4 + 5$ 时 $X_0$ 包含 $x+y=z$ 的解。
• 将理论界与计算验证相结合，通过检查所有 $p < 28567$ 来排除 $m=13$ 的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在远超拉姆齐数 $R_m(3)$ 的前提下，显著改进在 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上存在 $m$-色拉姆齐代数的 $p$ 上界？
• RQ2 是否存在某个素数 $p$，使得 $X_0 \leq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ 的乘法陪集满足 13 色拉姆齐代数所需的和集条件？
• RQ3 乘法子群的傅里叶均匀性能否用于证明其在足够大的 $p$ 下不可能为和自由集？
• RQ4 在 $p$ 相对于 $m^4$ 较小时，哪些 $p$ 与 $m$ 的条件可确保 $X_0$ 为和自由集？

主要发现

• 本文证明了在任何素数域 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上均不存在 13 色拉姆齐代数，因此 $A263308(13) = 0$。
• 建立了更紧致的 $p$ 上界：当 $p < m^4 + 5$ 时，足以排除 $X_0$ 的和自由性，该界远优于拉姆齐数的界。
• 对于 $m=13$，该界给出 $p < 28567$，使得可进行完整的计算搜索以排除其存在性。
• 该方法表明，当 $p > m^4 + 5$ 时，大小为 $(p-1)/m$ 的乘法子群 $X_0$ 并非和自由，这是由于其具有 $p^{-1/2}$-均匀性，且 $x+y=z$ 的解数非零。
• 通过利用引理 2 优化算法，借助陪集的旋转对称性，减少了和集检查的次数。
• 本文表明，随着 $p$ 增大，$X_0$ 的傅里叶系数相对于 $p$ 越来越小，表明其拟随机性不断增强，从而确认 $X_0$ 在 $p$ 足够大时不可能为和自由集。