[论文解读] 6d $\mathcal{N}=(1,0)$ theories on $T^2$ and class S theories: part I

Kantaro Ohmori, Hiroyuki Shimizu+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用 23

一句话总结

本文建立了6d $N=(1,0)$ 最小共形物质理论——在$A_n$、$D_n$或$E_n$ ALE奇点上实现的M5-brane——在环面$T^2$上紧化与类型$G$的类S理论之间的对偶性，该类S理论定义在具有两个全 puncture 和一个简单 puncture 的球面上。关键结果是，由此产生的4d $N=2$ SCFT在中心荷、Coulomb分支维数、Higgs分支几何结构以及Seiberg-Witten曲线方面完全匹配，通过多个一致性检验确认了该对偶性。

ABSTRACT

We show that the $\mathcal{N}=(1,0)$ superconformal theory on a single M5 brane on the ALE space of type $G=A_n, D_n, E_n$, when compactified on $T^2$, becomes a class S theory of type $G$ on a sphere with two full punctures and a simple puncture. We study this relation from various viewpoints. Along the way, we develop a new method to study the 4d SCFT arising from the $T^2$ compactification of a class of 6d $\mathcal{N}=(1,0)$ theories we call very Higgsable.

研究动机与目标

• 探索两种4d $ N=2$ SCFT构造方法之间的重叠：在$T^2$上紧化6d $ N=(1,0)$ 理论，以及从6d $ N=(2,0)$ 紧化得到的类S理论。
• 识别一类特定的6d $ N=(1,0)$ 理论，其$T^2$紧化可产生已知的类S理论。
• 建立6d最小共形物质（类型$G = A_n, D_n, E_n$）在$T^2$上的紧化与在具有两个全 puncture 和一个简单 puncture 的球面上的类型$G$类S理论之间的对偶性。
• 发展一种通用方法，用于计算‘极可Higgs化’6d $ N=(1,0)$ SCFT的4d异常多项式，该方法适用于最小共形物质。
• 通过多个独立检验验证该对偶性：Coulomb分支维数、Higgs分支几何结构、Seiberg-Witten曲线一致性以及异常多项式匹配。

提出的方法

• 利用Type IIB弦理论中的对偶链，作者将M5-brane在ALE奇点上的6d $ N=(1,0)$ 理论映射为具有codimension-2缺陷的6d $ N=(2,0)$ 理论，从而将其与类S构造联系起来。
• 从6d紧化和类S侧分别计算4d理论的Coulomb分支维数，确认其一致。
• 分析当$G^2$味对称性被弱规范化时4d理论的Higgs分支，表明其几何实现为类型$G$的ALE空间，与6d视角的预测一致。
• 在特定模空间极限下，比较4d广义双fundamental与6d最小共形物质的Seiberg-Witten曲线，通过“基空间-纤维对偶性”发现完全一致。
• 提出一种新方法，用于计算‘极可Higgs化’6d SCFT的4d异常多项式——即其张量分支可被完全Higgs化的理论——通过分析紧化过程的F理论几何结构。
• 将异常多项式公式应用于6d最小共形物质，并确认其与相应4d类S理论的已知中心荷（$a$、$c$）及味水平（$k_G$）一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 6d $ N=(1,0)$ 最小共形物质（类型$G$）在$T^2$上的紧化是否产生一个4d $ N=2$ SCFT，使其与在具有两个全 puncture 和一个简单 puncture 的球面上的类型$G$类S理论相匹配？
• RQ2 能否计算$T^2$紧化产生的4d理论的中心荷（$a$、$c$）和味水平（$k_G$），并使其与相应类S理论的值匹配？
• RQ3 当$G^2$味对称性被规范时，4d理论的Higgs分支是否几何实现为类型$G$的ALE空间，正如6d构造所预测的那样？
• RQ4 在特定模空间极限下，4d广义双fundamental与6d最小共形物质的Seiberg-Witten曲线是否一致，从而表明基空间-纤维对偶性？
• RQ5 能否为一类广泛的6d $ N=(1,0)$ SCFT（特别是‘极可Higgs化’的理论）开发一种通用方法来计算其4d异常多项式？

主要发现

• 6d $ N=(1,0)$ 最小共形物质（类型$G = A_n, D_n, E_n$）在$T^2$上的紧化产生一个4d $ N=2$ SCFT，其与在具有两个全 puncture 和一个简单 puncture 的球面上的类型$G$类S理论完全匹配。
• 4d理论在$T^2$紧化下的Coulomb分支维数与相应类S理论的维数完全一致。
• 当$G^2$味对称性被弱规范时，4d理论的Higgs分支几何实现为类型$G$的ALE空间，证实了其6d起源。
• 在特定模空间极限下，4d广义双fundamental与6d最小共形物质的Seiberg-Witten曲线完全一致，通过基空间-纤维对偶性支持了该对偶性。
• 新开发的用于计算‘极可Higgs化’6d SCFT的4d异常多项式的方法，正确再现了已知中心荷：对于$G = ext{SU}(N)$，有$a = \frac{11N^2 - 5}{12}$，$c = \frac{N^2 - 1}{2}$，$k_G = 2N$。
• 异常多项式计算确认了6d最小共形物质在$T^2$上的紧化与相应4d类S理论之间的一致性，包括$G = E_6, E_7, E_8$在特定puncture数据下的情况。