[论文解读] 8-18

Asmaa N. Al-Janabi, Raheam A. Al-Saphory+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文提出了一种针对由抛物型PDE控制的分布参数系统的通用渐近区域梯度观测器，基于Luenberger观测器理论与渐近区域可检测性。研究建立了在子区域Ω₀中此类观测器存在的充分条件，表明系统可能为区域观测器而非全局观测器，且为二维扩散系统中的点状、区域和边界传感器推导出明确条件。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to study and characterize the existing of general asymptotic regional gradient observer which observe the current gradient state of the original system in connection with gradient strategic sensors. Thus, we give an approach based to Luenberger observer theory of linear distributed parameter systems which is enabled to determinate asymptotically regional gradient estimator of current gradient system state. More precisely, under which condition the notion of asymptotic regional gradient observability can be achieved. Furthermore, we show that the measurement structures allows the existence of general asymptotic regional gradient observer and we give a sufficient condition for such asymptotic regional gradient observer in general case. We also show that, there exists a dynamical system for the considered system is not general asymptotic gradient observer in the usual sense, but it may be general asymptotic regional gradient observer. Then, for this purpose we present various results related to different types of sensor structures, domains and boundary conditions in two dimensional distributed diffusion systems

研究动机与目标

• 为分布参数系统开发一种通用渐近区域梯度观测器，以估计子区域Ω₀中的梯度状态。
• 表征利用传感器结构实现渐近区域梯度可观察性的条件。
• 建立在子区域Ω₀中通用渐近区域梯度观测器存在的充分条件。
• 表明系统可以是区域观测器而非全局观测器，突出区域与全局渐近可观察性之间的区别。
• 将理论扩展至二维空间域中的各种传感器类型（点状、区域、边界）及边界条件。

提出的方法

• 使用具有狄利克雷边界条件的二阶椭圆算子，构建一个分布式的抛物型系统。
• 应用Luenberger观测器理论，构建一个动态系统以估计子区域Ω₀中的梯度状态。
• 以Al-Saphory和El Jai提出的渐近区域可检测性概念为基础，用于观测器设计。
• 通过基于输出误差的校正项，对原系统进行扩展，推导观测器动态方程。
• 通过建模其空间支撑与测量分布，分析传感器结构——点状、区域与边界。
• 应用谱理论，推导拉普拉斯算子的特征函数与特征值，以获得观测器收敛的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可为分布参数系统构建通用渐近区域梯度观测器？
• RQ2 传感器结构（点状、区域、边界）如何影响区域梯度观测器的存在性与收敛性？
• RQ3 渐近区域可检测性与区域梯度观测器存在性之间有何关系？
• RQ4 系统是否可以是区域观测器而非全局观测器？若可以，其条件为何？
• RQ5 不同传感器位置与几何结构（如内部、边界、细丝）如何影响子区域Ω₀中观测器的收敛性？

主要发现

• 若传感器位置L满足ÄSÌ ∉ ∩(0,T)，则动态系统(16)是系统(14)–(15)的8-18-观测器，即ÄSÌ ∈ ∩(0,T)不成立，从而确保8-18-可检测性。
• 推论5.1表明，若对所有a, Ô ≥ 1，有ÃÑwÌw ∉ ℤ且ÃÑ•Ì• ∉ ℤ，则区域传感器是8-18-策略性的（因此支持观测器设计）。
• 推论5.2表明，单侧边界区域传感器是8-18-策略性的，若ÃÑwÌw ∉ ℤ，从而确保可检测性与观测器存在性。
• 推论5.3证明，内部点状传感器是8-18-策略性的，若ÄwÌw ∉ ℤ且Ä•Ì• ∉ ℤ，且对细丝与边界点状传感器有类似条件。
• 边界点状传感器仅需&Ä•Ì• ∉ ℤ（对Ô ≥ 1）即可确保8-18-可检测性与观测器收敛。
• 如注记5.4所述，结果可推广至Ω边界的子区域，证实该框架对基于边界的观测域具有鲁棒性。