[论文解读] ..., 83106786, 114382724, 1509048322, 2343463290, 27410087742, ... Efficient Hilbert Series for Effective Theories

Coenraad Marinissen, Rahn, Rudi+1 more|Utrecht University Repository (Utrecht University)|Apr 20, 2020

Matrix Theory and Algorithms被引用 4

一句话总结

该论文提出Eco，一种基于Form的高效形式化实现，用于在有效场论中（特别是标准模型有效场论SMEFT及其扩展）计算独立算符的希尔伯特级数方法。通过优化算法结构并利用Form的计算能力，该方法在单核CPU上不到一小时内即可完成SMEFT中维度20算符的计算，从而实现了包含规范对称性与引力时的高维算符快速模型构建与现象学分析。

ABSTRACT

We present an efficient algorithm for determining the Hilbert series of an effective theory and provide a companion code called ECO (Efficient Counting of Operators) in FORM. For example, the Hilbert series for the dimension 15 operators in the Standard Model Effective Theory (SMEFT) can be obtained in a minute on a single CPU core. While our implementation focusses on SMEFT, we allow for a flexible user input of the light degrees of freedom. Furthermore, gravity, as well as additional U(1) global or gauge symmetries can be included.

研究动机与目标

• 开发一种快速、可扩展的算法，用于在有效场论中计算希尔伯特级数，尤其适用于高维算符基。
• 解决在SMEFT及其扩展（如GRSMEFT和具有额外U(1)对称性的模型）中计算独立算符时的计算瓶颈。
• 提供一个用户友好、可扩展的代码库（Eco），支持灵活的场内容，包括引力和全局对称性，以用于模型构建与现象学研究。

提出的方法

• 该方法采用希尔伯特级数形式化，用于计算EFT中规范与洛伦兹不变算符的数量，利用特征标与群表示理论将算符投影到单态表示。
• 通过普莱西斯指数（plethystic exponentials）引入导数，并利用对称性与表示论投影处理积分-by-parts与方程-of-motion冗余。
• 实现采用Form这一高性能符号计算系统，加速张量与群论收缩，相比以往方法实现数量级的性能提升。
• 代码允许用户通过模块化输入语法定义场及其量子数，包括自旋、规范荷以及额外的U(1)对称性（如重子数）。
• 该算法通过Rarita-Schwinger场支持引力的引入，并可扩展以包含额外的轻标量、矢量与费米子。
• 希尔伯特级数以场与导数计数为生成函数计算，结果按算符维度与场内容组织。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何加速有效场论中的希尔伯特级数计算，以高效处理高维算符基？
• RQ2 在包含多代与对称性的情况下，SMEFT中至维度20的独立算符数量是多少？
• RQ3 引力（GRSMEFT）或额外U(1)全局对称性（如B-L）的引入如何影响算符计数与计算复杂度？
• RQ4 希尔伯特级数方法能否在如Form这样的高性能符号系统中高效实现，以支持实际的模型构建应用？
• RQ5 费米子代数数量与场统计性质（玻色子/费米子）对SMEFT中算符谱有何影响？

主要发现

• 在单核CPU上，SMEFT中维度15的算符（单代）的希尔伯特级数计算可在1分钟内完成，完整基至维度20的计算在1小时内完成。
• 对于三重代，SMEFT中维度20的算符数量为27,410,087,742，单核计算耗时约3,410秒（57分钟）。
• 该方法复现了SMEFT至维度15的已知结果并予以扩展，包括在维度6时的22,800个双希格斯双重态模型算符。
• 与SMEFT相比，GRSMEFT中引力的引入使计算时间增加约两倍，但该方法仍适用于高维分析。
• 代码正确识别出在单代情况下，SMEFT中至维度10的所有偶数维算符均守恒B-L，而奇数维算符则不守恒，例如h⁴ℓ₁²ℓ₂²算符在多代情况下破坏B-L。
• Eco代码实现了B-L守恒算符的高效计数，由于对称性筛选，相比标准SMEFT计算速度提升约10%。