[论文解读] A 1-dimensional family of Enriques surfaces in characteristic 2 covered by the supersingular K3 surface with Artin invariant 1

Toshiyuki Katsura, Shigeyuki Kondō|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文在特征2下构造了一个1维经典与超奇异Enriques曲面族，其典范覆叠为Artin不变量为1的唯一超奇异K3曲面。文中识别出30条光滑有理曲线与10个非有效$(-2)$-除子，证明其反射群在Néron-Severi格子模挠射的正交群中具有有限指数，且与该多面体相关的自同构群同构于$\mathfrak{S}_6 \cdot \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。该构造依赖于Frobenius基变换与具有$I_6$纤维的椭圆K3曲面上的有理向量场。

ABSTRACT

We give a 1-dimensional family of classical and supersingular Enriques surfaces in characteristic 2 covered by the supersingular K3 surface with Artin invariant 1. Moreover we show that there exist 30 nonsingular rational curves and ten non-effective (-2)-divisors on these Enriques surfaces whose reflection group is of finite index in the orthogonal group of the Neron-Severi lattice modulo torsion.

研究动机与目标

• 在特征2下构造一个1维Enriques曲面族，其典范覆叠为Artin不变量为1的超奇异K3曲面。
• 分析这些Enriques曲面的Néron-Severi格子模挠射的几何结构。
• 在Enriques曲面上识别并研究30条光滑有理曲线与10个非有效$(-2)$-除子。
• 确定由这些$(-2)$-除子生成的反射群的结构及其与Néron-Severi格子正交群的关系。
• 通过$\mathfrak{S}_6$群作用与外自同构研究Enriques曲面的自同构群。

提出的方法

• 在$\mathbb{P}^1$上构造一个椭圆曲面，其方程为$y^2 + y + x^3 + s x (y^2 + y + 1) = 0$，该曲面在$s = 1, \omega, \omega^2, \infty$处具有四个$I_3$纤维。
• 应用Frobenius基变换$s = t^2$，得到一个新的椭圆曲面，其具有12个$A_1$型有理双 singularity，从而导出一个Artin不变量为1的超奇异K3曲面$Y$。
• 利用参数$a, b \in k$满足$a + b = ab$且$a^3 \neq 1$，在$Y$上定义一个有理向量场$D$，并取$D$作用的商曲面，得到Enriques曲面$X = X_{a,b}$。
• 在$Y$上识别出42条有理曲线（来自四个$I_6$纤维的分量与18条截线），并通过商映射将其下降到$X$上得到30条有理曲线。
• 从15个duad（对换）、15个syntheme（三个不相交对换的乘积）以及$\text{Num}(X)$中的10个$(-2)$-除子构造图$\Gamma$，并分析其抛物子图。
• 利用Vinberg的双曲反射群理论，证明由$\Gamma$生成的反射群$W(\Gamma)$在$\text{O}(\text{Num}(X))$中具有有限指数，并计算与该多面体相关的自同构群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征2下，被Artin不变量为1的超奇异K3曲面覆叠的Enriques曲面，其Néron-Severi格子模挠射的结构是什么？
• RQ2 此类Enriques曲面上存在多少条光滑有理曲线与非有效$(-2)$-除子？其几何构型如何？
• RQ3 由这些$(-2)$-除子生成的反射群在Néron-Severi格子正交群中的指数是多少？
• RQ4 Enriques曲面的自同构群能否通过对称群作用与外自同构来描述？
• RQ5 在覆叠K3曲面上的Cremona变换是否能下降为Enriques曲面的自同构？

主要发现

• 本文构造了一个由$a, b \in k$参数化的1维Enriques曲面族，其中$a + b = ab$且$a^3 \neq 1$，当$a = b = 0$时得到一个超奇异Enriques曲面，其余情况为经典Enriques曲面。
• 在Enriques曲面$X_{a,b}$上恰好存在30条光滑有理曲线与10个非有效$(-2)$-除子，其对偶图$\Gamma$对应于$\mathfrak{S}_6$中duad、syntheme与置换的关联结构。
• 由40个$(-2)$-除子生成的反射群$W(\Gamma)$在$\text{O}(\text{Num}(X))$（即Néron-Severi格子模挠射的正交群）中具有有限指数。
• 多面体$D(\Gamma)$的自同构群同构于$\mathfrak{S}_6 \cdot \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，其中$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$因子源于$\mathfrak{S}_6$的外自同构。
• $W(\Gamma)$由40个$(-2)$-除子上的反射生成，其作用在模符号与有限指数意义下实现完整的正交群。
• 在假设某些K3覆叠上的Cremona变换能下降到$X$的条件下，自同构群$\text{Aut}(X)$由$\mathfrak{S}_6 \cdot \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$与一个由10个非有效$(-2)$-除子上的反射生成的群$G$生成，模有限群。