[论文解读] A 2-cocycle on a group of symplectomorphisms

Р. С. Исмагилов, Mark Losik+1 more|ArXiv.org|Oct 5, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文在具有精确辛形式且一阶实上同调群为零的非紧致辛流形的辛同胚群上构造了一个非平凡的2-上循环。该上循环通过从基点出发的路径对某一个原形式的拉回进行积分而定义，并诱导出一个非分裂的中心扩张。关键结果是，当该上循环限制在对称赫尔米特空间 G/K 上时是非平凡的，从而表明其在整个辛同胚群上亦为非平凡。

ABSTRACT

For a symplectic manifold $(M,\om)$ with exact symplectic form we construct a 2-cocycle on the group of symplectomorphisms and indicate cases when this cocycle is not trivial.

研究动机与目标

• 在具有精确辛形式且 H¹(M,ℝ)=0 的辛流形的辛同胚群上构造一个2-上循环。
• 证明当该上循环限制在某些对称赫尔米特空间 G/K 上时是非平凡的。
• 建立该上循环诱导出辛同胚群的非分裂中心扩张。
• 分析相应的李代数上循环，并确定其非平凡的条件。
• 将该构造与已知的体积保持微分同胚群及紧支集辛同胚群上的上循环进行比较。

提出的方法

• 通过固定基点 $ x_0 $ 和一个满足 $ d\omega_1 = \omega $ 的原1-形式 $ \omega_1 $，定义2-上循环 $ C_{x_0}(g_1, g_2) = \int_{x_0}^{g_2 x_0} (g_1^* \omega_1 - \omega_1) $。
• 利用 $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $ 确保积分与路径选择无关，从而使上循环定义良好。
• 使用标准群上链复形恒等式，证明该上循环是归一化的，并满足2-上循环条件 $ D^2 C_{x_0} = 0 $。
• 通过上边界论证，利用1-上链复形 $ a(g) = \int_{x_1}^{x_2} (g^* \omega_1 - \omega_1) $，证明 $ C_{x_0} $ 的上同调类与基点 $ x_0 $ 及 $ \omega_1 $ 的选择无关。
• 分析在哈密顿向量场与局部哈密顿向量场上的相应李代数上循环 $ c_{x_0} $，将其与泊松代数及辛体积形式联系起来。
• 利用庞加莱对偶性及 Lefschetz 映射 $ L^{n-1}: H^1(M,\mathbb{R}) \to H^{2n-1}(M,\mathbb{R}) $，刻画紧致流形上李代数上循环的非平凡性特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，辛同胚群上的2-上循环是非平凡的？
• RQ2 该上循环的构造如何依赖于基点和原1-形式的选择？
• RQ3 在何种情况下，由该上循环诱导的中心扩张是非分裂的？
• RQ4 李代数上循环与 $ C^\infty(M) $ 上的泊松代数结构之间存在何种关系？
• RQ5 对于哪些紧致辛流形，其李代数上循环是非平凡的？

主要发现

• 由于 $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $，2-上循环 $ C_{x_0} $ 定义良好且与路径选择无关，确保 $ g_1^*\omega_1 - \omega_1 $ 是恰当的。
• 上循环 $ C_{x_0} $ 是归一化的，并满足2-上循环恒等式，因此是取值于 $ \mathbb{R} $ 的有效群2-上循环。
• $ C_{x_0} $ 的上同调类与基点 $ x_0 $ 及原形式 $ \omega_1 $ 的选择无关，因为其差异为上边界。
• 将 $ C_{x_0} $ 限制在对称赫尔米特空间 $ M = G/K $ 的群 $ G $ 上时是非平凡的，从而表明其在整个辛同胚群上亦为非平凡。
• 对于紧致辛流形，李代数上循环 $ c_{x_0} $ 非平凡当且仅当 Lefschetz 映射 $ L^{n-1}: H^1(M,\mathbb{R}) \to H^{2n-1}(M,\mathbb{R}) $ 非零。
• 在凯勒情形下，$ L^{n-1} $ 是同构，因此只要 $ H^1(M,\mathbb{R}) \neq 0 $，就有 $ c_{x_0} $ 非平凡。