[论文解读] A 2 rebit gate universal for quantum computing

Terry Rudolph, Lov K. Grover|ArXiv.org|Oct 27, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 39

一句话总结

本文通过引入一个两径量子门 G，证明了仅使用实振幅即可实现通用量子计算，尽管该门无法实现任意酉变换。关键洞见在于：利用辅助量子比特追踪实部与虚部，将复振幅编码为实叠加态，从而实现任意量子线路的高效模拟，且仅使用实门 F(θ)。其中 G 实现了 F(ϕ)，ϕ 为 π 的无理数倍。

ABSTRACT

We show, within the circuit model, how any quantum computation can be efficiently performed using states with only real amplitudes (a result known within the Quantum Turing Machine model). This allows us to identify a 2-qubit (in fact 2-rebit) gate which is universal for quantum computing, although it cannot be used to perform arbitrary unitary transformations.

研究动机与目标

• 证明仅使用实振幅即可实现通用量子计算，挑战量子线路中复振幅的必要性。
• 识别出一个特定的两径量子门 G，其在电路模型中为通用量子计算门，尽管无法生成任意酉操作。
• 提供一种实用且高效的转换方法，将标准含复振幅的量子线路转化为等价的实振幅线路，利用辅助量子比特。
• 证明形式为 F(θ) 的门（作用于控制量子比特与追踪实部/虚部的辅助量子比特）已足够实现通用性。
• 探讨实振幅量子计算在物理与基础层面的含义，特别是复希尔伯特空间在通用量子计算中的必要性。

提出的方法

• 通过引入一个两能级辅助量子比特 |R⟩ 和 |I⟩，分别表示振幅的实部与虚部，将任意含复振幅的量子态编码为实叠加态。
• 将门 G 定义为在 |11⟩ 子空间中的受控旋转：G = diag(1,1,cosϕ, sinϕ)，其中 ϕ 为 π 的无理数倍，其在目标量子比特上实现 F(ϕ)。
• 利用 ϕ 的无理性，通过重复应用 G，借助 SU(2) 中的稠密性定理，高效逼近任意期望的旋转角度 θ。
• 在编码形式下实现标准单量子比特门：通过在辅助量子比特上应用 F(τ) 实现 Rz(τ)，通过直接在主量子比特上应用 F(τ) 实现 Ry(τ)，均保持实振幅。
• 证明两量子比特门如 F(π/2) 可在编码形式下直接实现，无需涉及辅助量子比特，从而保持通用性。
• 证明通过重复应用 G 可实现的门集合 F(θ) 足够用于模拟任意实振幅量子线路，从而确立通用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅使用实振幅实现通用量子计算，而无需在态矢量中引入复数？
• RQ2 是否存在一个单一的两径量子门，可作为量子计算的通用门，即使其无法生成所有酉变换？
• RQ3 标准量子线路模型能否被重新表述为仅使用实振幅，同时保持计算效率？
• RQ4 如何利用辅助量子比特将复振幅编码为实叠加态，以保持量子计算保真度？
• RQ5 复希尔伯特空间的量子力学形式化在多大程度上是必要的，或仅仅是充分的，用于通用量子计算？

主要发现

• 一个两径量子门 G，定义为在 |11⟩ 子空间中的受控旋转，其矩阵元素为 cosϕ 与 sinϕ，ϕ 为 π 的无理数倍，具有通用量子计算能力。
• 任何涉及复振幅的量子计算均可通过将相位信息编码至辅助量子比特，高效转换为仅使用实振幅的等价计算。
• 由于 ϕ 的无理性，门 G 可通过重复应用高效逼近任意旋转 F(θ)，从而实现通用门合成。
• 在编码的实振幅框架中，单量子比特门如 Rz(τ) 和 Ry(τ) 可通过在控制与辅助量子比特上应用 F(τ) 门实现。
• 两量子比特门如 F(π/2) 可在编码形式下直接实现，无需与辅助量子比特交互，从而保持通用性。
• 结果表明，标准复希尔伯特空间形式化并非通用量子计算所严格必需，实振幅线路已足够。