[论文解读] A 2d spray model with gyroscopic effects

Ayman Moussa, Franck Sueur|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出一个二维偏微分方程系统，将粒子喷雾的Vlasov型方程与不可压缩流体的Euler型方程耦合，其中粒子因流体涡度而受到科里奥利力（升力）作用，同时粒子喷雾也对流体涡度产生贡献。主要贡献在于：从粒子动力学出发，严格推导出该系统作为平均场极限，并首次证明了弱解的存在性，同时揭示了系统的哈密顿结构，并分析了粒子质量趋于零时的极限行为。

ABSTRACT

In this paper we introduce a PDE system which aims at describing the dynamics of a dispersed phase of particles moving into an incompressible perfect fluid, in two space dimensions. The system couples a Vlasov-type equation and an Euler-type equation: the fluid acts on the dispersed phase through a gyroscopic force whereas the latter contributes to the vorticity of the former. First we give a Dobrushin type derivation of the system as a mean-field limit of a PDE system which describes the dynamics of a finite number of massive pointwise particles moving into an incompressible perfect fluid. This last system is itself inferred from a joint work of the second author with O. Glass and C. Lacave, where the system for one massive pointwise particle was derived as the limit of the motion of a solid body when the body shrinks to a point with fixed mass and circulation. Then we deal with the well-posedness issues including the existence of weak solutions. Next we exhibit the Hamiltonian structure of the system and finally, we study the behavior of the system in the limit where the mass of the particles vanishes.

研究动机与目标

• 使用流体-粒子耦合方法，在二维空间中建立分散粒子喷雾与不可压缩理想流体相互作用的数学模型。
• 基于先前针对单个粒子的模型，将该系统严格推导为有限个质点粒子系统在平均场极限下的极限形式。
• 建立该系统的适定性，特别是弱解的存在性。
• 揭示系统的哈密顿结构，并分析其在粒子质量趋于零时的行为。

提出的方法

• 利用最优传输理论与相对熵方法，将描述N个质点粒子在流体中运动的PDE系统，作为平均场极限推导出该系统。
• 使用Biot-Savart算子K，通过u = K[ω + ρ]将涡度ω与流体速度u关联，其中ρ为粒子密度。
• 通过在空间-时间分布空间中利用ρ^ε与ω^ε在L∞(Lp)与H^{-m}空间中的有界性，借助紧致性论证证明弱解的存在性。
• 应用Ascoli定理与对角线提取法，证明粒子密度与流体涡度序列的相对紧致性。
• 通过识别守恒的能量泛函与泊松括号形式，分析系统的哈密顿结构。
• 通过缩放粒子质量与环量，研究粒子质量趋于零的极限，证明系统收敛至一个无惯性效应的极限系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过平均场极限，从基于粒子的模型严格推导出具有科里奥利力（升力）的二维流体-喷雾系统？
• RQ2 所得到的流体-粒子耦合系统的适定性特征是什么，特别是弱解的存在性如何？
• RQ3 该系统是否具有哈密顿结构，其与能量泛函及泊松括号的关系如何？
• RQ4 当粒子质量趋于零时，系统的行为如何，其极限动力学特征是什么？

主要发现

• 该系统通过最优传输与相对熵技术，作为有限粒子系统在平均场极限下的极限形式被推导出来，确立了其物理合理性。
• 通过在分布空间中的紧致性与弱收敛性论证，证明了耦合Vlasov-Euler系统（1）–（3）的弱解存在性。
• 该系统具有哈密顿结构，其能量泛函守恒，并可通过泊松括号形式表达，表明其具有类似可积系统的行为。
• 在粒子质量趋于零的极限下，系统收敛至一个极限流体-粒子模型，其中粒子惯性消失，动力学完全由流体涡度与粒子速度决定。
• 通过紧致性与对角线提取法，证明了粒子密度ρ^ε与涡度ω^ε在C⁰_t(D’(R²))中的收敛性，确保极限系统的定义良好。
• 在极限中验证了能量耗散不等式，确认了弱解在扰动下的稳定性。